4.
（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E,F分别为BC,DA的中点， 所以EF?FD，EF?FA， 又因为FD 所以EF分
又因为DG?平面DFA，
所以EF?DG. ………………4分
（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E,F分别为BC,DA的中点， 所以在立体图中，AB//EF//CD.
即在立体图中，四边形ABCD为平行四边形. 连接AC，设AC分
又因为CF//平面BDG，CF?平面ACF，平面ACF 所以CF//OG，
所以在?ACF中，OG为中位线，
即G为线段AF的中点. ………………9分
（Ⅲ）解：因为G为线段AF的中点，?DFA?60 所以?DFA为等边三角形，且DG?FA， 又因为EF?DG，EFD C F E
O G H A B 平面BDG?OG，
FA?F，
?平面DFA. ………………2
BD?O，则AO?CO. ………………6
FA?F，
所以DG?平面ABEF. 设BE的中点为H，连接GH,CH， 易得四边形DGHC为平行四边形， 所以CH?平面ABEF，
所以CG2?GH2?CH2. ………………11分
设DF?x，由题意得CH?DG?3x，GH?CD?4?2x， 2 所以CG2?(4?2x)2?(分
所以当x?32192 ………………13x)?x?16x?16，
243248时，CG2min?. 1919457. ………………1419 所以线段CG长度的最小值为分 5.
证明：
（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB?AC，所以AM?BC． 又因为BB1//AA1，且AA1?底面ABC，所以BB1?底面ABC． 因为AM?底面ABC，所以BB1?AM， 又BB1BC?B，
所以AM?平面BB1C1C． 又因为AM?平面APM，
所以平面APM?平面BB1C1C． ……………………5分 （Ⅱ）
取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C. 由于D，M分别为C1B1，CB的中点， 所以DM//A1A,且DM=A1A.
则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D//AM. 又A1D?平面APM，AM?平面APM， 所以A1D//平面APM.
C1 A1
D P
N A C
M
B1
B
由于D，N分别为C1B1，C1C的中点， 所以DN//B1C.
又P，M分别为B1B，CB的中点， 所以MP//B1C. 则DN//MP.
又DN?平面APM，MP?平面APM， 所以DN//平面APM. 由于A1DDN=D,所以平面A1DN//平面APM.
由于A1N?平面A1DN，
所以A1N//平面APM. ……………10分 （III）假设BC1与平面APM垂直， 由PM?平面APM， 则BC1?PM．
设PB?x，x?[0,3]．
当BC1?PM时，?BPM??B1C1B， 所以Rt?PBM∽Rt??B1C1B，所以
PBC1B1?． MBBB1由已知MB?2,C1B1?22,BB1?3， 所以43x22?，得x?．
323由于x?43?[0,3]， 3因此直线BC1与平面APM不能垂直． …………………………………………14分 6.
解：（Ⅰ）因为?ABE为等边三角形，O为BE的中点，所以AO?BE．
又因为平面ABE?平面BCDE， 平面ABE平面BCDE?BE，
AO?平面ABE，
所以AO?平面BCDE． 又因为CD?平面BCDE，
所以AO?CD．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）连结BD，因为四边形BCDE为菱形， 所以CE?BD．
因为O,F分别为BE,DE的中点， 所以OF//BD，所以CE?OF． 由（Ⅰ）可知，AO?平面BCDE． 因为CE?平面BCDE，所以AO?CE. 因为AOOF?O，所以CE?平面AOF．
又因为CE?平面ACE，
所以平面AOF?平面ACE．…………………………………………………9分
（Ⅲ）当点P为AC上的三等分点（靠近A点）时，BP//平面AOF． 证明如下：
设CE与BD,OF的交点分别为M,N，连结AN,PM． 因为四边形BCDE为菱形，O,F分别为BE,DE的中点，
B
O E N M C A
P F
D
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