2.1.1 指数与指数幂的运算
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容 二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念； （2）正确运用根式运算性质化简、求值； （3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力 三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质 四、教学难点
教学难点：根式概念的理解 五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
an?a?a?a???a,a0?1(a?0)七、教学环节 教学 教学内容
师生互动 设计意图 1
环节 提出问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质. 老师提问， 学生回答. 学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习 引入 观察以下式子，并总结出规律：a＞0 ① a510an?a?a?a???a,a0?1(a?0) 0无意义 1a?n?n(a?0) aam?an?am?n;(am)n?amn (an)m?amn,(ab)n?anbn 什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 0 老师引导学生“当根式的被开数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的. ?5方数的指数能被根指数整除时，根(a)?a?a 式可以写成分数作为指数的形式，252105② a?4③ a128(a4)2?a4?a 12482（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根?4(a3)4?a3?a 式是否也可以写成分数指数幂的形?(a)?a?a 5④a510252105式.”从而推广到正数的分数指数幂的意义. 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式） 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 3a?a?(a?0) b?b?(b?0) 122234c?c?(c?0) ?a(a?0,n?N*,n?1) 学生计算、构造、猜想，允许交流让学mn554即：a形成 nm为此，我们规定正数的分数指数幂的意 2
概念 mnn义为： 讨论，汇报结论．教师巡视指导． 生经历从*a?a(a?0,m,n?N) 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：a?mnm“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力． ?1amn(a?0,m,n?N*) 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 a?a?a???a(a?0) nm1m1m1m深化 由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、研究，教师引导． 通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图． 概念 义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数 指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）a?a?arSrsr?s(a?0,r,s?Q) （2）(a)?a(a?0,r,s?Q) （3）rs(a?b)r?arbr(Q?0,b?0,r?Q) 若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 3
所以，当2不足近似值从小于2的5方向逼近时，2的近似值从小于5逼近522的方向. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，52的近似值从大于522的方向逼近5，(如课本图所示) 2所以，5是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂 ap(a?0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：2的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： 3ar?as?ar?s(a?0,r?R,s?R) (ar)s?ars(a?0,r?R,s?R) (a?b)r?arbr(a?0,r?R) 应用 举例 23例题 例1（P56，例2）求值 学生思考，口答，教师板演、点评． 例1解： ① 8?(2) 23233通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指16?31?58；25；()；()4. 812?12例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0） ?2a. 3?23?22?4； ?12a3.a；a2?3a2；a3 ② 25?(5) 2?12分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
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解：a.a?a?a?a23222333123?12?a； 72?512?(?)21?5?； 5?1数幂的求值，提高运算能力． a?a?a?a?a a322?3?a； 83 ③ ()?5?(2?1)?5 12a?a?a?a?(a)?a. 1343413223?2?1?(?5)?32； 34?(?)16?32④()4?()4 813课堂练习：P59练习 第 1，2，3，4题 补充练习： 1(2n?1)4?()2n?121. 计算：的结果； n?2482. 若a3?3,227. ?()?3?38例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a 3312a10?384, 求a3?[(a)]的值. a3 1107n?3?a233?12?a； 22372a?a?a?a 2?aa32?23?a； 134383a?a?a?a ?(a)?a. 练习答案： 41322324n?4?2?2n?11.解：原式= 22n?2?6=2=512； 2.解：原式=3?[(128)]=3?2n?3917n?3 . 5
归纳 总结 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数. 3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的. 先让学生独自回忆，然后师生共同总结． 巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力． 课后 作业 作业：2.1 第二课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
八、板书设计
第二章 基本初等函数（I） 2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
九、教学反思
通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。
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