平面向量的概念及其线性运算

→→→→→→→→→OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案 直角三角形

4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直→＝mAM→，

线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝nAN→，则m＋n的值为________． AC

解析 ∵O是BC的中点， →1→→∴AO＝2(AB＋AC)．

→＝mAM→，AC→＝nAN→，∴AO→＝mAM→＋nAN→. 又∵AB

22mn

∵M，O，N三点共线，∴2＋2＝1，则m＋n＝2. 答案 2

三、解答题(共25分)

5．(12分)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，11

使得AN＝3AC，在AB上取一点M，使得AM＝3AB，1

在BN的延长线上取点P，使得NP＝2BN，在CM的

→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．

延长线上取点Q，使得MQ

→＝NP→－NA→＝1(BN→－CN→)＝1(BN→＋NC→)＝1BC→，QA→＝MA→－MQ→＝1BM→

解 ∵AP

2222→，

＋λMC

→＝QA→，∴1BM→＋λMC→＝1BC→， 又∵AP

22→＝1MC→，∴λ＝1. 即λMC

22

6．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点． →＋GB→＋GO→；

(1)求GA

→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA

11

m＋n＝3.

→＋GB→＝2GM→，又2GM→＝－GO→，

(1)解 ∵GA

→＋GB→＋GO→＝－GO→＋GO→＝0. ∴GA

→＝1(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG→＝2OM→＝1(a

(2)证明 显然OM

233→∥GQ→，所以，有且只有一个实数λ，使PG→

＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG→. ＝λGQ

11?→＝OG→－OP→＝1(a＋b)－ma＝??3－m?a＋b， 而PG

33??1?→＝OQ→－OG→＝nb－1(a＋b)＝－1a＋??n－3?b， GQ

33??1??1?1??1?

n－3?b?. 所以?3－m?a＋3b＝λ?－3a＋???????11－m＝－??33λ，

又因为a，b不共线，所以?1?1?

n－?＝λ，??3?3??11

消去λ，整理得3mn＝m＋n，故m＋n＝3.