常微分方程基础练习题答案 1、填空题 （1）微分方程y??2xy的通解为y?
.
（2）微分方程y??ytanx?cosx的通解为y?
.
（3）微分方程y???1的通解为y? 21?x.
（4）微分方程y???2y??5y?0的通解为y?
.
（5）设y?e(C1sinx?C2cosx)（C1，C2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程
为
2xx.
.
（6）微分方程y???4y??e的通解为y? 2、选择题 （1）设常数p和q满足p?4q?0,p?0，则微分方程y???py??qy?0的通解是（
p?x2p?x22）.
(A) y?Ce；
p?x2（B）y?Cxe； （C）y?(C1?C2x)e；
（D）y?C1?C2x.
（2）若y1和y2是二阶齐次线性微分方程y???p(x)y??q(x)y?0的两个解，则y?C1y1?C2y2（C1，C2为任
意常数）（
）.
（B）是该方程的解； （D）不一定是该方程的解.
）.
(A) 是该方程的通解； （C）是该方程的特解；
（3）设y1和y2是微分方程y???py??qy?f(x)的两个特解，则以下结论正确的是（
1
(A) y1?y2仍是该方程的解； （B）y1?y2仍是该方程的解； （C）y1?y2是方程y???py??qy?0的解； （D）y1?y2是方程y???py??qy?0的解.
（4）若连续函数f(x)满足f(x)??2x0?t?f??dt?ln2，则f(x)?（ ?2?（B）e2x）.
(A) eln2；
xln2； ?ln2.
（C）e?ln2； 3、解答题 x（D）e2x（1）f(x)为可微函数，f(x)?cos2x??x0f(u)sinudu.
（2）
ydx?1?2x2， y(1)?1. xdyx2xx?x（3）已知y1?xe?e，y2?xe?e求此微分方程. （4）设f(x)?sinx?4、应用题 ，y3?xe?ex2x?e?x是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解，
?x0(x?u)f(u)du，其中f(x)为连续函数，求f(x).
（1）设y?f(x)是第一象限内连接点A(1,0)，B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M
x31在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形BCM的面积之和为?，求f(x)的表达
63式.
（2）一条长度为l的均匀链条，放置在一水平而无摩檫力的桌面上，使得链条在桌边悬挂下来的长度为b，问链
2
条全部滑离桌面需多长时间？ （3）某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内污染物A的污水量为的水量为
VV，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊66V. 已知2010年底湖中的A的含量为5m0，超过国家规定指标. 为了治理污染，从2011年初起，限定3m排入湖泊中含A的污水的浓度不超过0. 问至多需要经过多少年，湖泊中的污染物的含量降至m0以内（注：
V设湖水中A的浓度是均匀的）. 参考解析:
1、（1）Ce；（2）(x?C)cosx；（3）xarctanx?x21ln(1?x2)?C1x?C2； 212xxe； 4（4）C1e?xcos2x?C2e?xsin2x；（5）y???2y??2y?0；（6）C1e?2x?C2e2x??cosx2、（1）C；（2）B；（3）D；（4）B；3、（1）f(x)?e提示：同乘以
?4(cosx?1)，f(0)?1；（2）x2(2?y2)?1，
x1x?2xx化为伯努利方程，再令z?x；（3）y???y??2y?e?2xe；（4）f(x)?sinx?cosx；y2227、（1）f(x)?(x?1)；（2）l[ln(s?s2?b2)?lnb]；（3）6ln3. g 5、计算题： 求下列方程的通解 1.dydy?xdx，y?Ce，C为任意常数 ?xy 分离变量 ydx2x22dyx??dx，y?Ce2.xydx?1?xdy?0 分离变量
2y1?x1?x2，C任意常数 3
3.xy??ylny?0 分离变量
dy1?dx，y?Cex ylnyxydyxdx22?(1?y)(1?x)?C ，221?y1?x4.(xy2?x)dx?(x2y?y)dy?0 分离变量
5.dydudy1udu?(2x?y?5)2 令u?2x?y?5则?2?arctan?x?C1 ?dx，，2dxdxdxu?222ydydyx?y1?u21ydydux?6.?du?dx u??u?x，原方程变为，令，，代入得2ydx1?dxx?y1?uxxdxdxx1?
2arctanu?u?lnx?C
，
u?yyy2arctan?lnx??C 回代得通解
xxx2dyydudxy?y???1????0，令u?，代入得?7.xy??y?x2?y2?0 方程变形为 2dxxxxx??1?u
arctanu?lnx?C，
u?yyy回代得通解arctan?lnx??C xxxdudxdyydyyyyCx?1Cx?1?8.x?yln，方程变形为?ln，令u?，，u?e，y?xe dxxdxxxxu(lnu?1)x9.2dy?2xdx2xdx?2xy?4x，一阶线性公式法y?e?(?4xe?dx?C)?Ce?x?2 dx11dx?dxdyy??22xx10.??2x,一阶线性公式法y?e(?2xedx?C)?x3?Cx dxx1432x4x2?y?(x?C) y?y??11.(x?1)y?2xy?4x，方程变形为一阶线性公式法2221?x3x?1x?1224
12.(y2?6x)dx311dy?2y?0，方程变形为?x??y一阶线性公式法y?y2?Cy3 dyy22dx1dy1?1dz?2dy?3x?xz?y,??y伯努利方程，令代入方程得 y2dxydxdx13.y??3xy?xy2，方程变形为
3?x211dz?3xz??x一阶线性公式法再将z回代得?Ce2? y3dx14.1dy111dy11??(1?2x)伯努利方程，令 ?y?(1?2x)y4，方程变形为43ydx3y3dx33z?y?3,dzdydz??3y?4?z?2x?1，一阶线性公式法再将z回代得代入方程得dxdxdx1x?Ce?2x?1 y315.y???5y??6y?0，特征方程为r2?5r?6?0，特征根为r1??2,r2??3，通解 y?C1e?2x?C2e?3x 16.16y???24y??9y?0，特征方程为16r2?24r?9?0，特征根为r1,2?3x43，通解 4y?(C1?C2x)e 17.y???y??0，特征方程为r2?r?0，特征根为r1?0,r2??1，通解y?C1?C2e?x 18.y???4y??5y?0，特征方程为r2?4r?5?0，特征根为r1?2?i,r2?2?i，通解 y?e2x(C1cosx?C2sinx) 5
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