海南省海口市2021届新高考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且a4??3，S12?24，若ai?aj?0（i,j?N*，且1?i?j），则i的取值集合是（ ） A．?1,2,3? 【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足ai?aj?0的i的取值集合. 【详解】
设公差为d，由题知a4??3?a1?3d??3，
B．?6,7,8?
C．?1,2,3,4,5?
D．?6,7,8,9,10?
S12?24?12a1?解得a1??9，d?2，
12?11d?24， 2所以数列为?9,?7,?5,?3,?1,1,3,5,7,9,11,L， 故i??1,2,3,4,5?. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
2．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF2?PF1，椭圆的离心率为
e1，双曲线的离心率为e2，若PF1?F1F2，则
A．6?23 【答案】C 【解析】 【分析】
B．6?22
3e2?的最小值为（ ） e13D．6
C．8
3e2由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简?，结合基本不等式即可求解.
e13【详解】
设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a?，半焦距为c，
则e1?ca，ec2?a?，设PF2?m
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
PF1?PF2?2a?a?m2?c，PF?PFm21?2a??a??2?c 则3e3?23ac?c?m???m?c3??c?e?3?c?3a???2?c?3??m?6??2??cm 1?2?c??c?3????2?c??3??m??6?2?2?c??c?c?8
3??m?2?c???当且仅当a?73c时，取等号. 故选：C． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
3．执行如图所示的程序框图，若输入a?ln10，b?lge，则输出的值为（
A．0 B．1
C．2lge D．2lg10【答案】A 【解析】
）
【分析】
根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解. 【详解】
输入a?ln10，b?lge，
因为ln10?1?lge，所以由程序框图知， 输出的值为a?故选：A 【点睛】
本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.
22bxy4．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点，直线y?与椭圆
2ab11?ln10??ln10?ln10?0. blge交于B，C两点，且?BFC?90?，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
6 3B．
3 4C．
1 2D．
3 2【答案】A 【解析】 【分析】
联立直线方程与椭圆方程，解得B和C的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得3c2?2a2，由离心率定义可得结果. 【详解】
??x2y23??1x??a????3b?3b??a2b2?2?a,?a,?. 由?，得?，所以B?，C?????2222?????y?b?y?b??2?2?uuur?r?3b?uuu3b?BF?c?a,?CF?c?a,?Fc,0由题意知??，所以??????. ??，2222????因为?BFC?90?,所以BF?CF,所以
uuuruuur?3??3?b232a2?c232122BF?CF???c?2a????c?2a???4?c?4a?4?4c?2a?0.
????所以3c2?2a2，所以e?故选：A. 【点睛】
本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 5．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
c6， ?a3A． B． C． D．
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
1??22*ana?xdx?（ ） 6．若?3x?的展开式中含有常数项，且的最小值为，则n?N????xx???aA．36? 【答案】C 【解析】
B．
na81? 2C．
25? 2D．25?
3x?1xxn?n?N?展开式的通项为
*Tr?1?C?3x?rnn?r5n?r5?1?n?rr2n?r?0，即，因为展开式中含有常数项，所以?3Cx,r?0,1,L,nn??2?xx?rr?2n为整数，故n的最小值为1． 5?aa所以?a?xdx??52?x2dx?522?525?.故选C 2点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r?1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r?1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
7．点P为棱长是2的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足
DP?BM，则动点P的轨迹的长度为（ ）
A．5? 5B．25? 5C．45? 5D．85? 5【答案】C 【解析】 【分析】
设B1B的中点为H，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出BM?平面
DCH，这样可以确定动点P的轨迹，最后求出动点P的轨迹的长度.
【详解】
设B1B的中点为H，连接CH,DH，因此有CH?BM，而DC?MB，而DC,CH?平面CDH，
DCICH?C，因此有BM?平面DCH，所以动点P的轨迹平面DCH与正方体ABCD?A1B1C1D1的
内切球O的交线. 正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，所以内切球O的半径为R?1，建立如下图所示的以D为坐标原点的空间直角坐标系：
urO(1,1,1),C(0,2,0),H(2,2,1)因此有，设平面DCH的法向量为m?(x,y,z)，所以有
uuuvuuuvvv?m?DC?m?DC?0?2y?0vuuuuv?uuuuv??m?(1,0,?2)，因此O到平面DCH的距离为：?v?v??m?DH?m?DH?0?2x?2y?z?0uruuurm?OD525d?u?r，所以截面圆的半径为：r?R2?d2?，因此动点P的轨迹的长度为
55m2?r?45?. 5故选：C
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