第1讲 数学文化
一、选择题
1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )
A．己亥年 C．己卯年
B．己巳年 D．戊辰年
解析：选B．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B．
法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．
(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B．
2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)，其中a是上底长，b是上底宽，c是下底
66
- 1 -
nn长，d是下底宽，n为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )
A．83 C．85
B．84 D．86
解析：选C．由三视图知，n＝5，a＝3，b＝1，c＝7，d＝5，代入公式s＝[(2a＋c)b＋
6(2c＋a)d]＋(c－a)得s＝85，故选C．
6
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )
A．96里 C．72里
B．48里 D．24里
nn1
解析：选A．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为的等比数列．设第一天走2
a1里，则第二天走a2＝a1(里)．易知
12
?1?a1[1－??]?2?
11－2
6
≥378，则a1≥192.
则第二天至少走96里．故选A．
4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )
- 2 -
C14C10C5A3A． 2
A2C14C10C5C．2
A2
4
5
5
4553
C14C10C5A2B．53
C5A3D．C14C10C5
4
5
5
4
5
5
4
5
5
4552
C14C10C5C14C10C5
解析：选A．先将14种计算方法分为三组，方法有2种，再分配给3个人，方法有2
A2A2
×A3种．故选A．
5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )
3
A．五寸 C．三尺五寸
B．二尺五寸 D．四尺五寸
解析：选B．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )
π
A． 152πC．
15
2πB． 54πD． 15
解析：选C．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，
- 3 -
11
设其内切圆的半径为r，则×5×12＝(5＋12＋13)r，解得r＝2.由几何概型的概率公式，
224π2π
得此点取自内切圆内的概率P＝＝.故选C．
115×5×122
7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用
近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，
把阴爻“数表示如下：
卦名 坤 符号 表示的二进制数 000 ”当作数字“0”，则八卦所代表的
表示的十进制数 0 - 4 -
艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为
“”，其表示的十进制数是( )
A．33 C．36
B．34 D．35
解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号
“”表示的二进制数为100010，转化为十进制
数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B．
8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖
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