高考数学一轮复习： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和

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第二节 等差数列及其前n项和

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

(对应学生用书第82页)

[基础知识填充]

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)． (2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．

4．等差数列的前n项和公式与函数的关系

a＋b2

.

n(n－1)dn(a1＋an)

2

＝2

.

d?d?Sn＝n2＋?a1－?n.

2

?2?

5．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． [知识拓展] {an}为等差数列，Sn是{an}前n项和

(1)若an＝m，am＝n，则am＋n＝0， (2)若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)， (3)若Sm＝Sk(m≠k)，则Sm＋k＝0.

[基本能力自测]

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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )

(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )

A．－1 C．2

B．1 D．－2

D [依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D．] 3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( )

A．－1 C．1

B．0 D．6

B [由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B．]

4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )

A．5 C．9

B．7 D．11

5(a1＋a5)A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]

2

5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

180 [由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.]

(对应学生用书第82页)

等差数列的基本运算 (1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( ) A．1 C．4

B．2 D．8

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.

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