精品资源·备战高考
第3讲 平面向量与复数
平面向量的概念与线性运算
[核心提炼]
1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；
2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
[典型例题]
(1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，
D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
1
A．a－b
21C．a＋b
2
1
B．a－b
21
D．a＋b
2
→→→
(2)(2019·金华市十校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，
S△PAB→1→→→
点P满足OP＝(OA＋OB＋2OC)，则为( )
4S△OAB3
A． 2C．2
2B．
31D．
2
→3→
(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC中，点D满足BD＝BC，当点E在射线AD(不含点A)
4→→→22
上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则(λ＋1)＋μ的取值范围为________．
→1→1
【解析】 (1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，
221→→→
所以AD＝AC＋CD＝b＋a.
2
→1→
(2)如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则OP＝(OA＋
4→
OB＋2OC)＝(2OD＋2OC)＝(－OC＋2OC)＝OC，
1121
所以OP＝OC＝×CD＝CD；
4436
题海无涯·战胜高考
→
1→4
→
14
→→
1→4
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1111
所以DP＝DO＋OP＝CD＋CD＝CD，DO＝CD；
36231CDS△PABDP23所以＝＝＝.
S△OABDO12
CD3
→→→3→
(3)因为点E在射线AD(不含点A)上，设AE＝kAD(k>0)，又BD＝BC，
4
→→→所以AE＝k(AB＋BD)＝
?→3→→?k→3k→k?AB＋（AC－AB）?＝AB＋AC， ?
4
?4
4
kλ＝??4k?295?2?29?所以?，(λ＋1)＋μ＝?＋1?＋k＝?k＋?＋>1，故(λ＋1)＋μ的取
8?5?10?4?163k??μ＝4
2
2
2
2
2
值范围为(1，＋∞)．
【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)
平面向量的线性运算技巧
(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
[对点训练]
→→1．(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点，N为AM的中点，若AN＝λAB＋
μAC，则λ＋μ的值为( )
11A. B. 43
1
C. D.1 2
→
→→
解析：选C.因为M在BC边上，所以存在实数t∈[0，1]使得BM＝tBC. →→→→→→→→→→AM＝AB＋BM＝AB＋tBC＝AB＋t(AC－AB)＝(1－t)AB＋tAC， 因为N为AM的中点， →1→1－t→t→所以AN＝AM＝AB＋AC，
222
题海无涯·战胜高考
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1－tt1－tt1
所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝，故C正确．
22222
2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝
26
.若7
→→2λ→
动点P满足AP＝(1－λ)AB＋AC，(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区
3域的面积为( )
A．5 C．26
→2→
解析：选A.设AD＝AC，
3
→→2λ→→→因为AP＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)AB＋λAD，
3所以B，D，P三点共线． 所以P点轨迹为直线BC.
26
在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝，
75
所以sin C＝，
7
15
所以S△ABC＝×7×6×＝15，
271
所以S△BCD＝S△ABC＝5.
3
3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)→→→→→→
取遍±1时，|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________，最大值是________．
解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，→→→→→→
所以λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，
??λ1－λ3＋λ5－λ6＝0
λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当?时，可取
?λ－λ＋λ＋λ＝02456?
B．10 D．46
λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2
→→→→→→
＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最小值0；取λ1＝1，
λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|
取得最大值2＋4＝25.
答案：0 25
题海无涯·战胜高考
2
2
→→→→→→
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平面向量的数量积 [核心提炼]
1．平面向量的数量积的两种运算形式
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ(其中θ为向量a，b的夹角)； (2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2. 2．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →22|AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）.
2
2
a·bx1x2＋y1y2
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝2. 222
|a||b|x1＋y1x2＋y2
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量aπ2与e的夹角为，向量b满足b－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
3
A．3－1 C．2
B．3＋1 D．2－3
(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且
a＋b＋c＝0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．
→→2【解析】 (1)设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1，0)，由b－4e·b＋3＝0得x＋y－4x＋3＝0，即(x－2)＋y＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为知
→→
|a－b|min＝|CA|－|CB|＝3－1.故选A.
π
，所以不妨令点A在射线y＝3x(x>0)上，如图，数形结合可3
2
2
2
2
(2)设b与c的夹角为θ，由题b＋c＝－a， 所以b＋c＋2b·c＝1.
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22精品资源·备战高考
2k－4k＋33
即cos θ＝＝1＋. 22
2k－4k2（k－1）－2因为|a|＝|b＋c|≥|b－c|，所以|2k－2|≤1. 13
所以≤k≤.
22
1所以－1≤cos θ≤－.
21??【答案】 (1)A (2)?－1，－? 2??
(1)平面向量数量积的计算
①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路 (ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．
②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．
(2)求解向量数量积最值问题的两种思路
①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．
[对点训练]
1
1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，若向量c2满足|a－b＋c|≤1，则|c|的最大值为( )
A．1 C．3
B．2 D．2
2
1
解析：选D.由平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，
21
可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1·1·cos〈a，b〉＝，
2π
由0≤〈a，b〉≤π，可得〈a，b〉＝，
33??1
设a＝(1，0)，b＝?，?，c＝(x，y)，
?22?3????1
则|a－b＋c|≤1，即有??＋x，y－??≤1，
2????21?2?3?2?即为?x＋?＋?y－?≤1，
?2??2?
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