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＝________．
1＋ai（1＋ai）（－i）
解析：因为z＝＝＝a－i的实部为1， 2i－i所以a＝1，则z＝1－i，|z|＝2. 答案：1
2
12．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且
a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．
解析：设e1，e2的夹角为θ，因为a在b上的投影为2， 所以
a·b（2e1＋e2）·e21
＝＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝，|b||e2|2
π2
则θ＝.a·b＝(2e1＋e2)·e2＝2e1·e2＋|e2|＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2.
3
答案：2
π 3
13．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．
解析：由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤6.①令sin α＋2sin β＝m，②
①＋②得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，
1故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤.
21答案： 2
→
14．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足AC＝(1，→→→
3)，BD＝(－3，1)，则凸四边形ABCD的面积为________；AB·CD的取值范围是________． →→→→→→
解析：由AC＝(1，3)，BD＝(－3，1)得AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2，所以凸四边形
2
2
2
ABCD的面积为×2×2＝2；因为ABCD为凸四边形，所以AC与BD交于四边形内一点，记为M，
→→→→→→→→→→→→→→则AB·CD＝(MB－MA)(MD－MC)＝MB·MD＋MA·MC－MB·MC－MA·MD，
→→→→→→→→设AM＝λAC，BM＝μBD，则λ，μ∈(0，1)，且MA＝－λAC，MC＝(1－λ)AC， →
12
MB＝－μBD，MD＝(1－μ)BD，所以AB·CD＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所
→→→→→
1→→
以有λ＝μ＝时，AB·CD取到最小值－2.
2
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答案：2 [－2，0)
→→
15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CO＝xCA3→→→→
＋yCB且x＋y＝1，函数f(m)＝|CA－mCB|的最小值为，则|CO|的最小值为________．
2
解析：在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，函数f(m)的最小值为→→
所以函数f(m)＝|CA－mCB| ＝
→22→2→→CA＋mCB－2mCA·CB
23. 2
＝1＋m－2mcos∠ACB≥
2
3， 2
化为4m－8mcos∠ACB＋1≥0恒成立．
8cos∠ACB当且仅当m＝＝cos∠ACB时等号成立，代入得到
812π
cos∠ACB＝－，所以∠ACB＝. 23
2π→2→→2→22→22222
所以|CO|＝xCA＋yCB＋2xyCA·CB＝x＋y＋2xy×cos＝x＋(1－x)－x(1－x)＝
3
?1?13?x－?＋， ?2?4
11→2
当且仅当x＝＝y时，|CO|取得最小值，
241→
所以|CO|的最小值为. 21答案： 2
→→→→→
16．在△OAB中，已知|OB|＝2，|AB|＝1，∠AOB＝45°，若OP＝λOA＋μOB，且λ＋2μ→→
＝2，则OA在OP上的投影的取值范围是________．
→→→
解析：由OP＝λOA＋μOB，且λ＋2μ＝2， →→→?→?λ?→?则OA·OP＝OA·?λOA＋?1－?OB?
2????→2?λ?→→
＝λOA＋?1－?OA·OB，
2??
→→
又|OB|＝2，|AB|＝1，∠AOB＝45°， →
所以由余弦定理求得|OA|＝1，
2
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2λ→→?λ?所以OA·OP＝λ＋?1－?×1×2×＝1＋，
2?22?→
|OP|＝
λ?→??λ→?1－?OA＋??OB? 2????
λ?→→?λ?2→2→2?λ|OA|＋2λ?1－?OA·OB＋?1－?|OB| 2?2???
2
2
＝ ＝
λ2
2
＋2，
1＋→→2OA·OP→→
故OA在OP上的投影＝ 2
→λ|OP|＋2
2＝
2λ＋2· (*)． 2λ2＋4
（λ＋2）
λ2＋41＋
44∈?－
2λ2
当λ＜－2时，(*)式＝－·2＝－
22
1＋
4λ2
＝－2
λ＋42
λ＋
λ2??2?，0?； 2?
2
当λ≥－2时，(*)式可化为2①λ＝0，上式＝
2； 2
22
1＋
（λ＋2）
；
λ2＋4
②－2≤λ＜0，上式＝
44
∈?0，
λ＋
λ44∈?
??2??； 2?
③λ＞0，上式＝
22
1＋
λ＋
λ?2?
，1?. ?2?
2??→→
综上，OA在OP上的投影的取值范围是?－，1?.
?2?答案：?－?
?2?，1? 2?
1r→→→→→
17．已知OA，OB是非零不共线的向量，设OC＝·OA＋OB，定义点集P＝
r＋1r＋1→→→→???KB·KCKA·KC??K?→＝→，
?|KA|??|KB|
?→→→?
KC≠0?，当K1，K2∈P时，若对于任意的r≥3，不等式|K1K2|≤c|AB|
??
恒成立，则实数c的最小值为________．
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1r→→→
解析：由OC＝·OA＋OB，可得A，B，C三点共线，
r＋1r＋1→→→→
→→
由＝，可得|KC|cos∠AKC＝|KC|cos∠BKC，
→→|KB||KA|
KB·KCKA·KC即有∠AKC＝∠BKC，则KC为∠AKB的角平分线． 由角平分线的性质定理可知
|KA||AC|
＝＝r， |KB||BC|
以AB所在的直线为x轴，以线段AB上某一点为原点建立直角坐标系，设点K(x，y)，A(－
a，0)，B(b，0)，
（x＋a）＋y2所以22＝r，
（x－b）＋y化简得(1－r)x＋(1－r)y＋(2a＋2br)x＋(a－br)＝0.
由方程知K的轨迹是圆心在AB上的圆，当|K1K2|为直径时最大，方便计算，令K1K2与AB共线，如图，
|AB|
由|K1A|＝r|K1B|，可得|K1B|＝，
r＋1|AB|
由|K2A|＝r|K2B|，可得|K2B|＝，
r－1
|AB||AB|2r2
可得|K1K2|＝＋＝2|AB|＝|AB|，
r＋1r－1r－11
r－
2
2
2
2
2
2
22
2
2
r
118
而易知r－≥3－＝，
r33
3|K1K2|3
即有|K1K2|≤|AB|，即≤，
4|AB|4即c≥?
?|K1K2|?＝3， ??|AB|?max4
3
故c的最小值为. 43答案： 4
π
18．在△ABC中，已知C＝，向量p＝(sin A，2)，q＝(2，cos B)，且p⊥q.
6
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(1)求角A的值；
→→
(2)若BC＝2BD，AD＝7，求△ABC的面积．
π
解：(1)因为p⊥q，所以p·q＝0?p·q＝2sin A＋2cos B＝0，又C＝，
6所以sin A＋cos B＝sin A＋cos?化简得tan A＝
?5π－A?＝0，
??6?
3π
，A∈(0，π)，所以A＝. 36
→→
(2)因为BC＝2BD，所以D为BC边的中点， →→
设|BD|＝x，|BC|＝2x，
π2π→
由(1)知A＝C＝，所以|BA|＝2x，B＝，
63在△ABD中，由余弦定理，得
2π→2→2→2→→
|AD|＝|BA|＋|BD|－2|BA|·|BD|·cos
32π22
＝(2x)＋x－2·2x·x·cos＝7，
3所以x＝1，所以AB＝BC＝2，
112π
所以S△ABC＝BA·BC·sin B＝×2×2×sin＝3.
223
19．已知m＝(2sin x，sin x－cos x)，n＝(3cos x，sin x＋cos x)，记函数f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合；
(2)设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝2，c＝3，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意，得f(x)＝m·n＝23sin xcos x＋sinx－cosx＝3sin 2x－(cos x－π??2
sin x)＝3sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－?，所以f(x)max＝2；
6??
π?ππ?当f(x)取最大值时，即sin?2x－?＝1，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋6?62?
???ππ
(k∈Z)，所以x的取值集合为?x?x＝kπ＋，k∈Z?.
33???
2
2
2
π??(2)由f(C)＝2，得sin?2C－?＝1，又0＜C＜π，
6??ππ11π
即－＜2C－＜，
666
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