十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题18 坐标系与参数方程 含解析

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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题18坐标系与参数方程

1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________. 【答案】

+1

【解析】由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a>0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1.

由直线与圆相切,可知=1,即|1-a|=,解得a=1±.∵a>0,∴a=+1.

2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+(1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值.

(t为参数).以坐标 ρsin θ+11=0.

【解析】(1)因为-1

≤1,且x+y+11=0.

2

=1,所以C的直角坐标方程为x+=1(x≠-1).

2

(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数,-π<α<π).

C上的点到l的距离为.

当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.

3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.

(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.

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【解析】(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin =2.

由已知得|OP|=|OA|cos =2.

设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcosθ-经检验,点P2,

在曲线ρcosθ-=2上. =2.

=|OP|=2.

所以,l的极坐标方程为ρcosθ-

(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈

.

.

4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧所在圆的圆心分别是

(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.

(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;

(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=【解析】(1)由题设可得,弧

所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.

,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ

≤θ≤

,M3的极坐标方程为

所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ0≤θ≤ρ=-2cos θ

≤θ≤π.

(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知 若0≤θ≤,则2cos θ=若≤θ≤,则2sin θ=

,解得θ=; ,解得θ=或θ=;

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若≤θ≤π,则-2cos θ=综上,P的极坐标为

,解得θ=.

.

5.(2018·全国1·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.

由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以

=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=,经检验,当k=0时,l1与

C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.

综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.

6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为

=1.

(θ为参数),直线l的参数方程为

(t

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当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α, 当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程 (1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0,①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-,

故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.

7.(2018·全国3·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为☉O交于A,B两点. (1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当α=时,l与☉O交于两点.

(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与

当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈

或α∈.

.

t为参数,<α<

.

综上,α的取值范围是(2)l的参数方程为

设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=于是tA+tB=2

sin α,tP=

,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.

sin α.又点P的坐标(x,y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<

.

8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

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在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为

,求a.

(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参

【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由

解得

从而C与l的交点坐标为(3,0),.

.

(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=当a≥-4时,d的最大值为当a<-4时,d的最大值为由题设得

综上,a=8或a=-16.

9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

.由题设得.

,所以a=8;

,所以a=-16.

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

(2)设点A的极坐标为大值.

,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最

【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=

.

由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0). 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB

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