专题十五 导数的综合应用
【高频考点解读】
1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.会利用导数解决某些实际问题． 【热点题型】
题型一 函数的最值与导数
a
例1、已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.
x
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．
【举一反三】
2
已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数．
x
2??2?3，3?上的最小值； (1)当函数f(x)的图象在点?3，f?处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在?3??2?
??
(2)若函数f (x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围； 【热点题型】
题型二 生活中的优化问题
例2、某商场根据调查，估计家电商品从年初(1月)开始的x个月内累计的需求量p(x)(单位：百件)满足p(x)x
＝(39x－2x2＋41)(1≤x≤12且x∈N*)． 2
(1)求第x个月的需求量f(x)的表达式；
fx－21xx<7，x∈N??2
(2)若第x个月的销售量满足g (x)＝?x?12
*?x≤12，x∈Nxx－10x＋96?3??e?＝100ex
－6
*
(单位：百件)，每件利润q(x)
元，求该商场销售该商品，第几个月的月利润达到最大值，最大是多少？(e6取值为403)
【举一反三】
某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，出厂价为x元(25≤x≤40)．根据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．
(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；
(2)若t＝5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值． 【热点题型】
题型三 不等式的证明问题
例3、已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若m＝0，A(a，f(a))、B(b，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点，且a>b>0，f′(x)为f(x)的导函数，求 证：f′?
a＋b?fa－fb
?2? 【提分秘籍】 1．要证明f(x) 2．对于和形式的不等式的证明，一般地根据条件先构造一恒成立的不等式，将和式拆解，再利用同向不等式的可加性，进行转化放缩以证明结论． 【举一反三】 已知函数f(x)＝aln x＋1(a>0)． 1 1－?； (1)当x>0时，求证：f(x)－1≥a??x?(2)在区间(1，e)上f(x)>x恒成立，求实数a的范围； 1 (3)当a＝时，求证：f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)>2(n＋1－n＋1)(n∈N*)． 2【热点题型】 题型四 由不等式恒成立求参数范围
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