专题十五 导数的综合应用
【高频考点解读】
1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 2.会利用导数解决某些实际问题. 【热点题型】
题型一 函数的最值与导数
a
例1、已知a∈R,函数f(x)=+ln x-1.
x
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.
【举一反三】
2
已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.
x
2??2?3,3?上的最小值; (1)当函数f(x)的图象在点?3,f?处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在?3??2?
??
(2)若函数f (x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围; 【热点题型】
题型二 生活中的优化问题
例2、某商场根据调查,估计家电商品从年初(1月)开始的x个月内累计的需求量p(x)(单位:百件)满足p(x)x
=(39x-2x2+41)(1≤x≤12且x∈N*). 2
(1)求第x个月的需求量f(x)的表达式;
fx-21xx<7,x∈N??2
(2)若第x个月的销售量满足g (x)=?x?12
*?x≤12,x∈Nxx-10x+96?3??e?=100ex
-6
*
(单位:百件),每件利润q(x)
元,求该商场销售该商品,第几个月的月利润达到最大值,最大是多少?(e6取值为403)
【举一反三】
某玩具厂生产一种儿童智力玩具,每个玩具的材料成本为20元,加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),出厂价为x元(25≤x≤40).根据市场调查知,日销售量q(单位:个)与ex成反比,且当每个玩具的出厂价为30元时,日销售量为100个.
(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式;
(2)若t=5,则每个玩具的出厂价x为多少元时,该工厂的日利润y最大?并求最大值. 【热点题型】
题型三 不等式的证明问题
例3、已知函数f(x)=ln x+mx2(m∈R). (1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点,且a>b>0,f′(x)为f(x)的导函数,求 证:f′?
a+b?fa-fb
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