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3.不 等 式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a?b,c?d，则a?c?b?d（若
a?b,c?d，则a?c?b?d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则
ab?）； cdn3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则a?b或na?nb； 4．若ab?0，a?b，则
n1111?；若ab?0，a?b，则?。如 abab（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：
2222 ①若a?b,则ac?bc； ②若ac?bc,则a?b；
22 ③若a?b?0,则a?ab?b； ④若a?b?0,则11?； ab ⑤若a?b?0,则ba?； ⑥若a?b?0,则a?b； abab11?； ⑧若a?b,?，则a?0,b?0。 c?ac?bab ⑦若c?a?b?0,则其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______
（答：1?3x?y?7）；
（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,则
c的取值范围是______ a（答：??2,???1??） 2?二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
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2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设a?0且a?1,t?0，比较
1t?1logat和loga的大小 22（答：当a?1时，
1t?1logat?loga（t?1时取等号）；当0?a?1时，221t?1logat?loga（t?1时取等号））； 22（2）设a?2，p?a?（答：p?q）；
（3）比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小
（答：当0?x?1或x?21，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小 a?244时，1+logx3＞2logx2；当1?x?时，1+logx3＜332logx2；当x?4时，1+logx3＝2logx2） 3三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定
和最小”这17字方针。 （1）下列命题中正确的是
1x2?3 A、y?x?的最小值是2 B、y?的最小值是2
2xx?2 C、y?2?3x?4(x?0)的最大值是2?43 x4(x?0)的最小值是2?43 x（答：C）；
D、y?2?3x?优秀资料 欢迎下载！
（2）若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______
（答：22）；
（3）正数x,y满足x?2y?1，则
11?的最小值为______ xy（答：3?22）；
22a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结构4.常用不等式有：（1）221?1ab选用) ；（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；（3）若a?b?0,m?0，则
222bb?m?（糖水的浓度问题）。 aa?m如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________
（答：?9,???）
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）
后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：
1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1nk?1?k?111???k?k?1 k?1?k2kk?1?k222222（1）已知a?b?c，求证：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；
222222(2) 已知a,b,c?R，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；
（3）已知a,b,x,y?R，且
?11xy?,x?y，求证：?；
x?ay?baba?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc； 222(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg222222（5）已知a,b,c?R，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；
(6)若n?N，求证：(n?1)2?1?(n?1)?*n2?1?n；
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