同时被2、3、5整除的数有2006?(2?3?5)?6626，共66(盏)，所以，只能同时被2、3、5中2
个数整除的数的个数为334?133?200?3?66?469(盏)，不能被2、3、5整除的数的个数为
2006????1003?668?401???334?133?200??66???535(盏)．所以，最后亮着的灯一共为
469?53?51(盏0)．
【答案】1004盏
【巩固】 写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次
把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．没拉的灯有
?100??100??100??100?100?(?????)?100?(33?20?6)?53(盏)，拉两次的有??????6(盏)，最后亮着的353?53?5????????灯一共为53?6?59(盏)
【答案】59盏
【例 10】 200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；
第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名． 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，10题
【解析】 只有约数个数被4除余3的数，最后面向东．
约数个数为3的数有22、32、52、72、112、132，共8个数． 约数个数为7的数有26，1个， 约数个数为15的数有32?24?144，1个
一共有8个满足条件的编号． 【答案】8名
【例 11】 下编号是1、2、3、……36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈.第一次，编号是1的同学向
后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、5、6的同学向后转，……，第36次，全体同学向后转.这时，面向里的同学还有________名. 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，10题
【解析】 整个过程中一共转了1+2+3+4…+36=666人次，每转过72人次所有学生的朝向就会和原来一样，那
么666÷72=9…18，于是应该有18名同学面朝里，18名同学面朝外。
【答案】18名
【例 12】 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：
（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔； （2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 1～100，2的倍数有?100?=50，3的倍数有?100?=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一
???2???3??定是6的倍数，所以标签为这样的数有?100?=16个．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的
??6??数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.
【答案】232支
【例 13】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；
第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段． 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 假设木棍长60cm，则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长60?10?6cm，沿第二种刻度线锯成的木棍
每段长60?12?5cm，沿第三种刻度线锯成的木棍每段长60?14?4cm．
因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段；沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成60?[6,5]?2段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成60?[6,4]?5段，沿第二、三种重合的刻
度线可将木棍锯成60?[5,4]?3段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成60?[6,5,4]?1段．应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数．所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成
10?12?15?2?5?3?1?28段．
【答案】28段
【例 14】 一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一
个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段． 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】101中学
【解析】 要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、
101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：
?101??101??101??101??101??101??101??2???3???5???2?3???2?5???3?5???2?3?5??74，故木棒上共有74个刻度，可以截??????????????出75段．
【答案】75段
【巩固】 一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻
度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 1.8米长的木棍，按2厘米一段画出刻度，那么也就是说所有的偶数点都已经划过了，即2、4、6、
8、10……共89个点，那么再画3的时候所有的偶数点都已经划过，那么会多出30个点，即3、9、15……，再画5的时候会多出来的点是5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175，共12个，最后画间隔7厘米的时候，会多出7、49、77、91、119、133、161共7个点，那么所有的刻度总和应该是89?30?12?7?138个，那么截断之后应该会有139段小木棍．
【答案】139段
????11【例 15】 在循环小数中类似于?0.142857，?0.076923等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分
713位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括7和13在内，共有 个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，1试，第4题
【解析】 根据容斥原理，999999的约数有64个，999的约数有8个，99的约数有6个，9的约数有3个， 所
求的n的个数为64?(8?6?3)?53（个）。
【答案】53个
相关推荐：
loading