高二数学选修2-2 定积分的概念
教学目标：
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授
1．定积分的概念
a,b]上连续，用分点 一般地，设函数f(x)在区间[a=x0 将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Dx（Dx=b-a），在每个小区间nL,n)，作和式： [xi-1,xi]上任取一点xi(i=1,2,Sn=邋f(xi)Dx=i=1nb-af(xi) ni=1n如果Dx无限接近于0（亦即n??）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数 S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：S=其中 òabf(x)dx， ò- 积分号，b－积分上限，a－积分下限，f(x)－被积函数，x－积分变量，[a,b]－ x)dx－被积式。 积分区间，f(说明：（1）定积分 dx是一个常数，即Sòaf(x)bn无限趋近的常数S（n??时）记为 òabf(x)dx，而不是Sn． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点 bb-af(xi)；④取极限：òf(x)dx=limxi?[xi-1,xi]；③求和：?nani=1n?inf(xi)=1b-a n（3）曲边图形面积：S=òaf(x)dx；变速运动路程S=òbt2t1v(t)dt；变力做功 W=òabF(r)dr 2．定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)30，那么定积分òf(x)dx表示由直线 abx=a,x=b(a?b),y0和曲线y=f(x)所围成的曲边 梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。 说明：一般情况下，定积分 òaf(x)dxbdx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线òaf(x)bx=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负 号。 分析：一般的，设被积函数y=f(x)，若y=f(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式f(x1)Dx+f(x2)Dx+L+f(xi)Dx+L+f(xn)Dx 不妨设f(xi),f(xi+1),L,f(xn)<0 于是和式即为 f(x1)Dx+f(x2)Dx+L+f(xi-1)Dx-{[-f(xi)Dx]+L+[-f(xn)Dx]} \\òabf(x)dx=阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积） 思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？ 3．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1性质2性质3性质4 bòakdx=k(b-a)； bakf(x)dx=k蝌ab12b； f(x)dx(k为常数)（定积分的线性性质） ba[f(x)?f(x)]dx蝌af1(x)dx?； ?af(x)dx（定积分的线性性质） 2b蝌f(x)dx=aabbcaf(x)dx+?caabf(x)dx(其中a 可加性） (1) f(x)dx=-蝌abbf(x)dx； (2)òf(x)dx=0； bac2说明：①推广： [f(x)北f(x)蝌a12L?fm(x)]dxc1af1(x)dx北蝌f2(x)dxabckbL?bafm(x) ②推广: f(x)dx=蝌abf(x)dx+f(x)dx+L+蝌c1f(x)dx ③性质解释： y性质4 性质1 y=1MOaPyACBOabxNbx S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB 三．典例分析 例1．利用定积分的定义，计算分析：令f(x)=（１）分割 把区间[0,1]n等分，则第i个区间为：犏1ò0x3dx的值。 x3； 轾i-1i,(i=1,2,L,n)，每个小区间长度为：犏臌nnVx=ii-11-=； nnni(i=1,2,L,n)，则n（２）近似代替、求和 取xi=1ò0x3dx?Snif()?Vx邋ni=1ni1()?ni=1n2n31121骣1÷23?i=nn+1=1+()÷??桫n÷n4i=1n444?1n2（３）取极限 ò 101骣1÷1x3dx=limSn=lim?=. ?1+÷nn4?桫n÷4例2．计算定积分 ò21(x+1)dx 分析：所求定积分是x=1,x=2，y=0与y=部分面积，面积为 即： x+1所围成的梯形面积，即为如图阴影y 5。 25 2O 1 2 x ò21(x+1)dx=思考：若改为计算定积分 ò2-2(x+1)dx呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在[-2,2]上 出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 例３．计算定积分 1ò0(2x-x2)dx (2x-x)dx=2蝌01210分析：利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出四．课堂练习 计算下列定积分 1．2． 55xdx-?10x2dx 1ò10xdx，òxdx，就能得到ò(2x-x2)dx的值。 2001òò01(2x-4)dxò0(2x-4)dx=9-4=5 11创11+创11=1 22-1xdxò1-1xdx=3．课本练习：计算五．回顾总结 ò20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么？ 1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 六．布置作业 P50 3、5
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