2.9分形几何学
在我们生活着的大千世界里，除了有像房屋建筑、公路桥梁、汽车、飞机、轮船以及各种劳动生活工具等这些人造的形态规则的几何形体外，更广泛地充满了诸如花草树木、山川河流、烟雾云彩等形态极不规则的几何形体。大自然在向人们展示其美丽多变态的同时，也提出了难以回答的询问：如何描述复杂的自然表象？如何分析其内在的机理？科学家与艺术家一直在苦苦追寻着这些问题的答案，并力图从传统的欧几里得几何体系终解放出来。最近几十年，一些科学家开始朦胧地“感觉”了另一个世界的存在，这个几何世界的描述对象是自然界的几何形态。七十年代，美国科学家B.Mandelbrot用Fractal这个词来定义这门新的几何学科——分形几何学。分形几何学把自然形态看作是有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂自然形态的有效方法。
尽管分形的提出只有二十多年的时间，但它已经在自然科学的诸多领域如数学、物理、化学、材料科学、生命科学、地质、天文、计算机乃至经济、社会、艺术等及其广泛的领域有着重大的应用。可以毫不夸张地说“分形是大自然的几何学”，“分形处处可见”。
本节的目的是以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形的基本方法，使读者在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有个直观的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然，激发读者探寻科学真理的兴趣。
这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终的图形F是按照一定的规则R通过对初始图形F0不断修改得到的。其中最具有代表性的图形是Koch曲线和Minkowski“香肠”曲线。
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图17 Koch曲线
K图18 Minkowski“香肠”曲线 1 Koch曲线分形原理
Koch曲线的构造方式是：
给定一条直线段F0，将该直线段三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边替代，得到图形F1，如图17所示。然后，再对图形F1中的每一小段都按上述方式修改，以至无穷，则最后得到的极限曲线就是所谓的Koch曲线。
Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段F0用一条折线F1替代，我们称F1为分形的生成元。分形的基本特性完全由生成元决定。因此给定一个生成元，我们就可以生成各种各样的分形图形。
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图 19
使用画线函数line(x,y)， 可根据各点坐标（x,y）连成折线。
根据图19所示，由i点和i＋1点的坐标，可得Koch曲线生成元各点的坐标如下：
x1?xi21xi?xi?13313x3?(xi?xi?1)?(yi?1?yi)2612x4?xi?xi?133x5?xi?1x2?y1?yi21yi?yi?13313y3?(yi?yi?1)?(xi?1?xi)2612y4?yi?yi?133y5?yi?1y2?
生成生成元各点坐标的程序如下：
function [x,y]=pd(a,b) ii=length(a); x=[a(1)];y=[b(1)]; for i=1:ii-1
aa1=a(i);aa2=a(i+1);bb1=b(i);bb2=b(i+1);
x=[x aa2/3+2*aa1/3 (aa1+aa2)/2-(bb2-bb1)*sqrt(3)/6 aa1/3+2*aa2/3 aa2];
y=[y bb2/3+2*bb1/3 (bb1+bb2)/2+(aa2-aa1)*sqrt(3)/6 bb1/3+2*bb2/3 bb2]; end
多次分形程序fx1.m：
function fx1(n) %输入参数n代表分形次数 a=[0 6];b=[0 0]; for i=1:3
[x y]=pd(a,b); a=x;b=y; end line(x,y)
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2 Minkowski“香肠”分形原理
根据图20所示，由i点和i＋1点的坐标，可得Minkowski“香肠”曲线生成元各点的坐标如下：
图 20
x1?xix2?x331xi?xi?144?x2?l3y1?yiy2?y331yi?yi?144?y2?l2x4?x5x636 x
711(xi?xi?1)?l3y4?(yi?yi?1)?l22211?(xi?xi?1)?l3y5?(yi?yi?1)?l222?x7?l3y6?y7?l2?y7?y813yi?yi?144?yi?1x813xi?xi?144?xi?1
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