专题二十五 离散型随机变量及其
概率分布、期望与方差
1. (2017·南京期初)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投. (1) 求甲获胜的概率;
(2) 求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望E(X).
2. (2018·常州一模)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). (1) 求P(ξ=0)的值;
(2) 求随机变量ξ的概率分布及数学期望E(ξ).
3. (2018·镇江一模)某学生参加4门学科的学业水平测试,每门得A等级的概率都是,该学生各学科等级成绩彼此独立.规定:有一门学科获A等级加1分,有两门学科获A等级加2分,有三门学科获A等级加3分,四门学科全获A等级则加5分.记ξ1表示该生的加分数,ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值. (1) 求ξ1的数学期望; (2) 求ξ2的概率分布.
4. (2017·苏州调研)口袋里装有大小相同的八张卡片,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.
(1) ξ为何值时,其发生的概率最大?请说明理由; (2) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ).
5. (2017·无锡期末)某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2 h免费,超过2 h的部分每小时收费1元(不足1 h的部分按1 h计算).现有甲、乙两人独立来停车场停车(各停车一次),且两人停车时间均不超过5 h.设甲、乙两人停车时间(h)与取车概率如下表所示.
停车时间 取车概率 (0,2] (2,3] (3,4] (4,5] 停车人员 甲 x x x 乙
y 0 (1) 求甲、乙两人所付车费相同的概率;
(2) 设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).
6. (2018·扬州一模)扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机
分配到两所中学的其中一所.
(1) 求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率;
(2) 设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的概率分布和数学期望E(ξ).
7. (2018·无锡一模)某公司有A,B,C,D四辆汽车,其中A车的车牌尾号为0,B,C两辆车的车牌尾号为6,D车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知A,D两辆汽车每天出车的概率为,B,C两辆汽车每天出车的概率为,且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下表所示:
汽车车牌尾号 0和5 1和6 2和7 3和8 4和9 车辆限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 (1) 求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率;
(2) 设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ξ的概率分布和数学期望.
8. (2017·宿迁二调)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
(1) 求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
(2) 假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
9. (2017·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知袋中装有大小相同的2个白球,2个红球和1个黄球.一项游戏规定:每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分,每一局从袋中一次性取出3个球,将3个球对应的分值相加后称为该局的得分,计算完得分后将球放回袋中.当出现第n局得n分(n∈N)的情况就算游戏过关,同时游戏结束,若四局过后仍未过关,游戏也结束.
*(1) 求在一局游戏中得3分的概率;
(2) 求游戏结束时局数X的概率分布和数学期望E(X).
10. (2018·南京联合体调研)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. (1) 求甲能入选的概率;
(2) 求乙得分的概率分布和数学期望.
11. (2018·南京期初)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球,每种颜色的小球各有4个,分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球. (1) 若两个球颜色不同,求不同取法的种数;
(2) 在(1)的条件下,记两球编号的差的绝对值为随机变量X,求随机变量X的概率分布与数学期望
E(X).
相关推荐：
loading