12. (2017·盐城三模)一只袋中装有编号为1,2,3,…,n的n个小球,n≥4,这些小球除编号以外无任何区别,现从袋中不重复地随机取出4个小球,记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为ξn,如ξ4=3,ξ5=3或4,ξ6=3或4或5,记ξn的数学期望为f(n). (1) 求f(5),f(6); (2) 求f(n). 专题二十五 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差
1. (1) 设甲第i次投中获胜的事件为Ai (i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥,甲获胜的事件为A1+A2+A3. 则P(A1)=,
P(A2)=××=, P(A3)=××=,
所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=. 答:甲获胜的概率为.
(2) 由题知X所有可能取的值为1,2,3. 则 P(X=1)=+×=,
P(X=2)=+×××=, P(X=3)=××1=.
所以X的概率分布为
X P 1
2 3 所以E(X)=1×+2×+3×=.
2. 根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形,ξ的可能取值为0,,,共=28种情况,其中,ξ=0时,有2种;ξ=时,有3×4+2×4=20(种);ξ=时,有2+4=6(种). (1) P(ξ=0)==. (2) P==,P==.
再根据(1)的结论,知随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 P 所以E(ξ)=0×+×+×=.
3. (1) 记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai,i=0,1,2,3,4.
随机变量ξ1的可能取值为0,1,2,3,5. 则P(Ai)=,
则P(A0)=,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,所以随机变量ξ1的概率分布为
ξ1 P 所以E(ξ1)=0×+1×+2×+3×+5×=.
(2) 由题知,随机变量ξ2的可能取值为0,2,4,则
0 1 2 3 5 P(ξ2=0)=P(A2)=, P(ξ2=2)=P(A1)+P(A3)=+=, P(ξ2=4)=P(A0)+P(A4)=+=.
所以随机变量ξ2的概率分布为 ξ P 0 4. (1) 设第一次与第二次取到卡片上数字分别为X,Y,则
2 4 P(X=1)=P(Y=1)=P(X=2)=P(Y=2)=,P(X=3)=P(Y=3)=.
由题知,随机变量ξ的可能取值为2,3,4,5,6.
P(ξ=2)=P(X=1)P(Y=1)==,
P(ξ=3)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)=,
P(ξ=4)=P(X=1)P(Y=3)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)=, P(ξ=5)=P(X=2)P(Y=3)+P(X=3)P(Y=2)=, P(ξ=6)=P(X=3)P(Y=3)=.
所以当ξ=4时,其发生的概率最大,最大值为. (2) 由(1)可知E(ξ)=2×+3×+4×+5×+6×==, 所以随机变量ξ的数学期望为. 5. (1) 由题意得+3x=1,所以x=. 又++y+0=1,所以y=.
记“甲、乙两人所付的停车费相同”为事件A, 则P(A)=×+×+×=,
所以甲、乙两人所付车费相同的概率为.
(2) 设甲、乙两人所付停车费之和为ξ,ξ可能的取值为0,1,2,3,4,5.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=×+×=, P(ξ=2)=×+×+×=, P(ξ=3)=×+×+×=,
P(ξ=4)=×+×=,P(ξ=5)=×=.
所以随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 P 1 2
3 4 5 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.
6. (1) 记“6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习”为事件A,则P(A)=1-=. 答:6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为.
(2)ξ所有的可能取值是0,2,4,6,记“6名学生中恰有i名被分到甲学校实习”为事件Ai(i=0,1,…,6),则
P(ξ=0)=P(A3)==,
P(ξ=2)=P(A2+A4)=P(A2)+P(A4)=+=, P(ξ=4)=P(A1+A5)=P(A1)+P(A5)=+=, P(ξ=6)=P(A0+A6)=P(A0)+P(A6)=+=,
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 P 所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×=. 答:随机变量ξ的数学期望E(ξ)=.
7. (1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,
2 4 6 P()=++·=,
所以P(A)=1-P()=.
答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为. (2) 由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(ξ=0)==, P(ξ=1)=+=, P(ξ=2)=++·=, P(ξ=3)=+=, P(ξ=4)==.
所以ξ的概率分布为
ξ P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=. 答:ξ的数学期望为.
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