8. (1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A, 则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”, 所以P(A)=1-P()=1-=.
答:该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.
(2) 设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数,则x的所有可能值为0,1,2,3. 依题意知X=ax+2a(4-x),故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a. 则P(X=8a)=P(x=0)==,
P(X=7a)=P(x=1)==, P(X=6a)=P(x=2)==, P(X=5a)=P(x=3)==.
从而X的概率分布为
X P 8a 7a
6a 5a 所以E(X)=8a×+7a×+6a×+5a×=a. 9. (1) 设“在一局游戏中得3分”为事件A, 则P(A)==.
答:在一局游戏中得3分的概率为. (2) X的所有可能取值为1,2,3,4. 在一局游戏中得2分的概率为=,
P(X=1)==, P(X=2)=×=, P(X=3)=××=, P(X=4)=××=.
所以游戏结束时X的概率分布为 X P 所以E(X)=1×+2×+3×+4×=.
1 2 3 4 10. (1) 由题知甲至少答对2题才能入选,记“甲入选”为事件A, 则P(A)=+=.
(2) 设乙答题所得分数为X,则X的可能取值为-15,0,15,30,则
P(X=-15)==, P(X=0)==, P(X=15)==, P(X=30)==.
所以X的概率分布为
X P -15 0
15 30 所以E(X)=×(-15)+×0+×15+×30=. 11. (1) 两个球颜色不同的情况共有·4=96. (2) 随机变量X所有可能的值为0,1,2,3.则
2
P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==,
所以随机变量X的概率分布为 X P 0 1
2 3 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 12. (1) ξ5的概率分布为
ξ5 P 3
则f(5)=E(ξ5)=. ξ6的概率分布为
ξ6 P 3 4 5 4
则f(6)=E(ξ6)=.
(2) 方法一:ξn=3,4,5,…,n-1,
P(ξn=i)=(i=3,4,…,n-1) ,
即n=k+1时命题也成立.
*综上①②,对一切n(n≥4,n∈N)猜想都成立.
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