圆锥曲线、简易逻辑综合
x2y2x2y231．椭圆2?2?1 (a>b>0)离心率为,则双曲线2?2?1的离心率为 （ ）
2abab2．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为______
1
3．圆的方程是(x－cos?)2+(y－sin?)2= ,当?从0变化到2?时，动圆所扫过的面积是 （ ）
2
4．若过原点的直线与圆x+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）
2x2y25．椭圆??1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的____倍
1236．动点P（x, y）满足a(x?1)2?(y?2)2?|3x?4y?10|，且P点的轨迹是椭圆，则a的取值范围是 ． 7．双曲线两条渐进线方程为4x?3y?0,一条准线方程为x?9,则双曲线方程为___________ 511?，给出下列四个复ab8．已知命题p：若实数x,y满足x2?y2?0，则x,y全为零。命题q：若a?b，则
合命题：①p且q②p或q③非p④非q，其中真命题是 。
y2?1上一点，焦点F（2，0）9．设点P是双曲线x?，点A（3，2），使|PA|+1|PF|有最小值时，则点P的坐标322是______________________________．
1
10. 已知p：| 2x－3 |＞1；q：2>0，则┐p是┐q的_________条件
x+x－611．椭圆的焦点是F1（－3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程
为_____________________________． 12．若直线mx?ny?3?0与圆x2?y2?3没有公共点，则m,n满足的关系式为 ．
22以（m,n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆x?y?1的公共点有 个.
73x2y213．设F1,F2分别是椭圆2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点，若在其右准线存在点P，使线段PF1的中垂线过
ab点F2,则椭圆离心率的取值范围__________________.
14．AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为 .
A x2y2y 15．如图，F1，F2分别为椭圆2?2?1的左、右焦点， ab点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形， 则b2的值是 。
16．如图，过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若BC?2BF，
且AF?3，则此抛物线的方程为______________
2217已知命题p：方程ax?ax?2?0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式
O F B x C x2?2ax?2a?0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
?23??18、双曲线C的中心在原点，右焦点为F??3,0?，渐近线方程为y??3x.
?? （1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y?kx?1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点
19. 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2) 为圆心，1为半径的
圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y?x对称． （1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y?mx?1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（－2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．
20．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为点O到直线AB的距离为
3，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，265。 5 （1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E(3, 0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求EP?QP的取值范围。
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5 2x2?16y 22? y?73（5,+ ∞ ） x 倍 3充xy分214 (??1 2，,2) 3不916必22 要条件 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
x2y2??1 12．0?11．
3627m2?n2?3, 2 13．[35,1) 14． 15. 23 16. y2?3x
2317
解:由a2x2?ax?2?0，得(ax?2)(ax?1)?0，21显然a?0?x??或x?aa21?x???1,1,故||?1或||?1,?|a|?1?? aa“只有一个实数满足x2?2ax?2a?0”.即抛物线y?x2?2ax?2a与x轴只有一个交点，???4a2?8a?0.?a?0或2,?命题\p或q为真命题\\a|?1或a?0\?命题\P或Q\为假命题?a的取值范围为?a|?1?a?0或0?a?1?x2y223b18（Ⅰ）设双曲线的方程是2-2?1?a?0，b?0?，则c?，?3.
a3ab
又?c2?a2?b2,?b2?1， a?21， 所以双曲线的方程是3x2?y2?1. 3
?y?kx?1,（Ⅱ）① 由?22?3x?y?1,2得3?k2x2?2kx?2?0，
??由??0,且3?k?0，得?6?k?6,且 k??3. 设A?x1,y1?、B?x2,y2?，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA?OB， 所以 x1x2?y1y2?0. 又x1?x2??2k2xx?，， 12k2?3k2?3所以 y1y2?(kx1?1)(kx2?1)?k2x1x2?k(x1?x2)?1?1， 所以
2?1?0，解得k??1. 2k?314a219. [解析]：（1）当a?1时，y2?x,表示焦点为(,0)的抛物线；（2）当0?a?1时，(x?1?a)(a2)1?a?y2a21?a2?1，表示焦点在x轴
a2)2上的椭圆；（3）当a>1时，，表示焦点在x轴上的双曲线. （1设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=01?a?y?12a2a()1?aa2?1(x?22xy∵该直线与圆x?(y?2)?1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为??1． a2a2又双曲线C的一个焦点为(2,0)，∴2a2?2，a2?1．∴双曲线C的方程为:x2?y2?1.
22（2）由?y?mx?1得(1?m2)x2?2mx?2?0．令f(x)?(1?m2)x2?2mx?2
?22?x?y?1∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在(??,0)上有两个不等实根． 因此?2m????0?2?0且?0?21?m2?1?m，解得1?m?2．又AB中点为(m2,1?m1)，
1?m2
∴直线l的方程为：y?122． (x?2)． 令x=0，得b??2?2m?m?2?2m2?m?2?2(m?1)2?174848∵m?(1,2)，∴?2(m?1)2?17?(?2?2,1)，∴b?(??,?2?2)?(2,??)．
b1c32，得?1?e?，所以a = 2b① ?a2a265ab65 因为原点O到直线AB的距离为，所以 ② ?2255a?b20．解：（1）由离心率e=
x2y2??1 由①代入②得b=9，所以a=36，则椭圆C的标准方程是
3692
2
（2）因为EP⊥EQ，所以EP?EQ=0，所以EP?QP?EP?(EP?EQ)?EP
2x2x2y22
??1，即y =9– 设P(x , y)，则
36942x23222 所以EP?QP=EP?(x?3)?y?x?6x?9?(9?)?(x?4)2?6
4432 因为–6≤x≤6，所以6≤(x?4)+6≤81，所以EP?QP的取值范围为[6，81]
4
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