基于非线性整数规划解决电梯调度问题
摘要
本文针对工作日上下班高峰期乘坐电梯的特点，提出了以电梯平均运行时间作为电梯调度方案优劣的主要评判指标，首先利用matlab编程求出了不同分区下电梯平均运行时间t 的具体数值，并用Matlab 重新拟合出t 的二次函数式进而建立关于所有分区平均运行时间总和最小的非线性整数规划模型，通过计算机搜索算法求解出最优的电梯分区调度方案。结果表明这种方法容易操作，同时 又具有很高的可用性和推广性。
关键词：电梯平均运行时间 matlab拟合 分区 非线性整数规划 搜索算法
一、问题重述
商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电
梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。请你针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。 1）请给出若干合理的模型评价指标。
2）暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
表1：该写字楼各层办公人数
楼层 人数 楼层 人数 楼层 人数 1 2 3 4 5 6 7 8
无 208 177 222 130 181 191 236 9 10 11 12 13 14 15 16 236 139 272 272 272 270 300 264 17 18 19 20 2l 22 200 200 200 200 207 207 请你针对这样的简化情况，建立你的数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。 3）将你在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。
二、问题分析
2.1评价指标的确定：
针对上下班高峰期乘坐电梯的特点：上班高峰期绝大部分乘客是从1楼乘坐电梯到达其工作的楼层，下班高峰期绝大部分乘客是从起工作的楼层乘坐电梯到达1楼，乘客更注重等候电梯和乘坐电梯的时间长短而并不太注重拥挤度，且电梯的利用效率直接体现在单位时间内运送乘客的量，所以在乘坐电梯人数基本固
定的条件下可以主要用电梯的平均运行时间作为评判调度方案优劣的评价指标来选择最优方案，拥挤度可以作为辅助的评价指标评价用来比较选出的最优方案和其它方案。
2.2上班高峰电梯的分区调度方案：
2.2.1 分区的选择：
由引用文献可知在上班高峰期，对于电梯使用较为拥挤的单位，分区越多，越能降低每次电梯的搭乘容量限制。因此，对于上班高峰期而言，为提高电梯运行效率，减轻电梯的运载压力，应采取尽量多的分区即将6部电梯分为6个区，在确定了分区数目后，关键是要确定最理想的分区点。 2.2.2分区的优化方案： 由上述讨论分析可知，应该以电梯的平均运行时间作为指标，建立出一个使得6 个分区平均运行总时间最小的规划方程，其解即为最优方案。
三、问题假设
1. 假设题目所给数据真实可靠；
2. 假设乘客的到达时间间隔T服从参数为λ的负指数分布；
3. 假设上班时需要到各楼层的人的到来是随机的，下班时各楼层的人乘坐电梯
也是随机的且其目的地都是一楼；
4. 假设上班前30分钟之内有80%的人到达门厅，下班后30分钟内有80%的人
离开工作楼层；
5. 假设每个人都严格按照分区选择所乘电梯，且到达的人全部选择坐电梯； 6. 假设电梯运行过程中不出现任何故障； 7. 假设所有乘客都是正常体重。
四、符号说明
ri：第i个分区所服务的楼层数； bi：第i个分区所服务的最低楼层； ti：第i个分区内每个电梯的平均运行时间； li：第i个分区的电梯数目；
?i：第i个分区内楼层的平均乘客到达率即单位时间（1秒）内来到的目的楼层
为第i个分区内楼层每一层的平均人数；
tv：每层楼之间电梯的平均运行时间；
ts：电梯在所停楼层（除第一层外）的平均停留时间；
c: 电梯的人数容量；
xj：第j层楼的办公人数。
五、模型的建立与求解
5.1模型评价指标
根据上述问题分析可以给出以下两个模型评价指标：
1）电梯平均运行时间； 2）拥挤度
5.2分区的优化方案
由引用文献【2】可知li、ti与?i、ri、tv、ts的关系式如下
liti?2[?(e??iti)ri?j(1?e??iti)?bi?1]tv?[ri(1?e??iti)?1]ts ○1
j?1ri其中tv=3s，ts=10s已由题目给出。
由上述讨论分析可知，应该以电梯的平均运行时间作为指标，建立出一个使得6 个分区运行总时间最小的规划方程，其解即为最优方案。六个分区对应的ri的总和为24，其ri必须为整数，同时在第i 个分区内电梯的平均运行时间ti及乘客到达率λ的乘积必须小于电梯的最大运载数c ，即ti取值必须小于c/，否则电梯会严重超载。在该次实际问题探讨中，取c为25，λ为1.6，则c/?i≈10。此外，分区内最低楼层数bi+1 为前一分区最低楼层bi加上前一分区的楼层数ri。又因为第一层客户不需进入电梯，故分区中最低楼层为2 。综上所述，可以建立如下的非线性整数规划模型：
目标函数 min?t
ii?16约束条件：
?ti?f(bi,ri)??6???ri?21??i?1???bi?ri?1??xj?i?1????j?bi?f(2??rl,ri),i?1,2?6??ti?21l?1?? xj???j?2??0?t?10,i?1,2?6i???r?N?,i?1,2?6?i??????
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