参考书：《Basic Algebra》，N. Jacobson；《Algebra》，T. Hungerford
CH1 群论
§1引言
1 数系N，Z，Q，R，C，H(四元数)的发展
2 代数学基本定理：任意一个次数大于0的复系数多项式都至少有一个复根。任意一个次数n大于0的复代数方程都有n个复根。
3代数方程的求根公式
（1）2、3、4次代数方程的求根公式 （2）5次代数方程没有求根公式 一、群的定义
1 集合、映射、满射、单射、双射、可逆映射的概念 2 代数运算 ⊙：A×B→D, ⊙（a,b）= a⊙b=d. 3 半群(semi-group)：乘法封闭；结合律. 单位元e：对任意a?M，ea?ae?a. 盟(monoid)（幺半群）：.含单位元e的半群.
4 群：乘法封闭；结合律；有单位元1；任意元g?G有逆元. 注：（1）群中的单位元e是存在且唯一的.
（2）如果在盟M中a?M有逆元，那么a?M的逆元唯一，记a?1. （3）群中两个消去律成立. （4）群的阶数就是群中的元素个数.
交换群（可换群）(abelian group)：满足交换律的群.
注：交换群中的运算可以用加法表示，这时，表示n个a乘积an就写成na. 5 定理1 设G为半群，则下列三条等价： （1）G为群
（2）对任意a, b, c, d, 方程ax=b和 yc=d都有解.
（3）如下两条都成立：（A）G有左单位元e，使得对任意g?G有eg?g； 1
（B）对于上述左单位元e，任意元g?G有左逆元，即对任意g?G
存在gL?G，使得gLg?e.
证明 只要证明（2）推出（3），（3）推出（1）.
（2）→（3）： 由条件，对任意取定的a?G，有e?G使得ea?a. 注意到对任意g?G，存在x?G使得ax?g. 于是eg?e(ax)?(ea)x?ax?g，（A）成立。 由于对上面的左单位元e及任意元g?G，yg?e有解，（B）成立。
（3）→（1）： 先证明左逆元也是右逆元. 设a,b?G满足ab?e. 下证ba?e. 由条件，存在c?G，使得ca?e.
因此ba?e(ba)?(ca)(ba)?c[a(ba)]?c[(ab)a]?c(ea)?ca?e. 左单位元e也是右单位元. 设对任意g?G都成立eg?g，证明ge?g.
事实上，由于左逆元也是右逆元，所以对任意g?G，存在h?G，使得hg?gh?e. 于是，ge?g(hg)?(gh)g?eg?g.
6 定理2 设G为有限半群，则G为群当且仅当两个消去律成立，即对G中任意元素a,b,c,d,x,y, 成立：从 ax=bx可以推出 a=b；从yc=yd可以推出c=d.
证明 只要证明充分性。我们将证明对任意a, b, c, d, 方程ax=b和 yc=d都有解.
因为有限半群G中两个消去律成立，所以对任意a, b, c, d, 对应x?ax定义了一个G到G的单射。根据G的有限性，这也是满射，从而为双射. 因此对任意a, b, 方程ax=b都有解. 同理，对任意c, d, 对应y?yc定义了一个G到G的单射，所以方程yc=d总有解. 由定理1知G为群。 7 群例
例1 整数加群(Z,?,0)，有理数加群(Q,?,0)，实数加群(R,?,0)，复数加群(C,?,0). 例2 有理数乘群(Q,?,1)，实数乘群(R,?,1)，复数乘群(C,?,1) 例3 向量空间的加法群是交换群。
例4 线性空间上全体可逆线性变换（矩阵）按变换（矩阵）的乘法构成的群是非交换群。 例5 线性空间上全体正交变换（矩阵）按变换（矩阵）的乘法构成的群是非交换群。
### 2
例6 几何空间R2中向量饶原点的所有旋转变换按变换的乘法构成的群是交换群。 几何空间R2中向量饶原点的所有旋转变换和反射变换按变换的乘法构成的群是交换群。 例7 n?3时，对称群Sn（交错群An）都是非交换群。
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例8 设Un为全体n次单位根的集合，n为给定的正整数，那么Un关于数的乘法作成一个n阶交换群。令a?e2?in?cos2?2?k，那么Un??a|k?0,1,?,n?1?（循环群）。 ?isinnn例9 设G为全体n次单位根的集合，n为任意的正整数，即
G??x?C|存在正整数n,使得xn?1?，
那么G关于数的乘法作成一个无限交换群。
例10 正三角形的对称群S3?D6；正四边形的对称群D8；…，正n边形的对称群D2n叫二面体群.
§2 群中的元素、子群
1子群
设G为一个群，H为G的非空子集。如果H对G的运算构成一个群，则称H为G的一个子群，记H?G。
例 (Z,+)是(Q,+)的子群，但是(Q*,·)不是 (Q,+)的子群。
b?Ha,定理 设G为一个群，H为G的非空子集。如果?a,b?H，有a证明 封闭性；结合律；单位元e?H；逆元.
?1H?，则H?G.
注 设G为一个群，H为G的非空子集。如果?a,b?H，有ab?H，则H?G. 例 设H,K?G，则（1）H?K?G； （2）H?K?G当且仅当H?K或者K?H.
?12 群中的元素
3
（1）元素的阶：如果存在正整数m使得xm = e，则称x 是有限阶元素，其阶数o(x)指满足xm = e的最小正整数m.
（对比：有限群的阶数指元素个数。） 显然，有o (a)?o (a)，o (a)?o (xax).
例 G?x?C|存在正整数n,使得x?1是无限交换群，G中任意元素的阶有限，并且对给定的正整数n，Un?G.
（2）命题 （A）设a?G，则a?e当且仅当o (a)|m. （B）设o (a)?n，那么o(a)?k?1?1?n?mn. (n,k)例 设ab?ba，o(a)?m，o(b)?n，且(m,n)?1，那么o(ab)?mn. 证明 容易得到(ab)得
mnrr?1?e. 设o(ab)?r，那么a?(b)，从而它们的阶数相同。结合（1），
mn. 因为(m,n)?1，所以(m,r)?m,(n,r)?n，即m|r,n|r. ?(m,r)(n,r)又(m,n)?1，所以mn|r. 因此o(ab)?mn.
3 元素的运算
约定：a?m?(a?1)m；a0?e（单位元）.
n?1?1?1?amn；（2）?a??a；（3）?ab??ba
m（1）a???1?1mmmm注: 一般地，?ab??ab，但是如果ab?ba，那么?ab??ab.
mm例1 若G 为有限群，且?e?a?G，有a?e，那么G 为交换群。
思考题：如果G 为有限群，且?e?a?G，有a?e，那么G 是否必为交换群？ 例2 设a?G，则CG(a)?{x?G|ax?xa}?G； 设H?G，则CG(H)?{x?G|?a?H,ax?xa}?G.
（对比：设H?G，NG(H)?{x?G|Hx?xH}?G，CG(G)?Z(G)） 例3 设G 为偶数阶有限群，那么G中含有对合（即2阶元）.
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