例4 证明：一个群不可能是它的两个真子群的并。问：一个群是否可能是它的3个真子群的并？
反例考虑Klein四元群B4.
例5Z(G)?{x?G|?g?G,gx?xg}?G（G的中心），并且G 为交换群当且仅当
Z(G)?G.
（思考题：分别求S3，数域F上的矩阵群GL(n,F)，SL(n,F)的中心）
4 群中集合的乘积
命题 设S,T?G，规定ST?{st|s?S,t?T}. 那么 （1）集合的乘积的结合律成立，即(RS)T?R(ST)； （2）若??H?G，则H?G当且仅当H?H且H注：H?{h1h2|h1,h2?H}，H2?12?1?H.
?{h?1|h?H}.
推论 （1）若??H?G，则H?G，当且仅当H2?H，H?1?H，当且仅当HH?1?H. （2）若H,K?G，则HK?G当且仅当HK?KH.
（3）若G 为有限群，??H?G，那么H?G当且仅当H2?H.
5 由子集所生成的子群
设G 为群，S是G的非空子集，全体形如s11s22?snn,?i??1,si?S,n为正整数，的 元素所构成的集合作成G的子群，称为由S生成的子群，记S，它是所有包含S的子群的交，是G包含S的最小子群. 例 由一个元素生成的子群叫循环群。
???§3 陪集
1 陪集（ｃｏｓｅｔ）
设H?G，x?G. 则称Hx?{hx|h?H}为H关于x的右陪集，称xH?{xh|h?H}为
H关于x的左陪集
注：根据定义，Hx?H{x}，xH?{x}H.
5
2 等价关系与集合的划分（ｐａｒｔｉｔｉｏｎ） 关系：集合S×S的子集Ｒ叫S的一个二元关系。
等价关系：满足反身性、对称性、传递性的二元关系叫等价关系。 例 矩阵的等价，合同，相似，正交相似等都是等价关系。 设Si都是S的子集，如果：（１）S??Si?Ii；（２）对任意i,j，有Si?Sj或Si?Sj??，
则称{Si}为S的一个划分（分类），称Si为S的一个类。
命题 集合S上的任意一个等价关系确定S的一个分类，这样的类叫等价类；S的任意一个分类都决定S上的一个等价关系．
例 设H?G，x,y?G，规定：xR1y?xy?H；xR2y?xy?H，
则R1,R2都是G上的等价关系，且x关于等价关系R1,R2所在的等价类分别为包含x的左、右陪集。（自己证明） 3 拉格朗日定理 命题 （1）G??1?1x?G?Hx，且如果G有限，那么Hx?H；
（2）设H?G，?x,y?G，有Hx?Hy??或Hx?Hy. 注：称G/H?{Hx|x?G}为陪集空间。 定理 设G是有限群，H?G，那么 (A)H|G.
(B) G关于子群H的左、右陪集个数相等，都是
|G|，它叫H在G中的指数。 |H||G|推论 设a?G，则o(a)∣G，从而对任意a?G有a?e.
问题：设G?n，m∣n，G中是否必有m阶子群？
若m = pr, 根据以后学习的Sylow定理知结论成立；若m含有两个及以上素因子，结论不成立。例如A4为12阶群，它没有6阶子群。 例 设G?6，则G中包含2阶元和3阶元。
分析：前面已经证明偶数阶群必有2阶元，只要证明G中包含3阶元。需要排除G*中只包含2阶元的情况。否则，G为交换群，从而G有4阶子群，与拉格朗日定理矛盾。
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例 （1）设H, K都是群G的有限子群，那么|HK|?|H|?|K|.
|H?K|（2）设H, K都是群G的有限子群，那么|G:H?K|?|G:H||G:K|.
（3）设H, K都是群G的有限子群，那么|G:H?K|?|G:H||G:K|. |G:H|,|G:K|互素，证明 （1）考虑满射?:H?K?HK，?h?H,k?K,?h,k??hk. 集合HK中任意元素hk的原象恰好由形如hx,xk,x?H?K的元素构成，所以集合HK中任意一个元素hk都对应于卡氏积H?K中的|H?K|个元素. 因此|HK|????1?|H|?|K|.
|H?K|另证 集合HK中包含H的右陪集个数为|HK|/|H|，K中包含H?K的右陪集个数为
|K|/|H?K|。由于映射Hx?(H?K)x,x?K为HK中包含H的右陪集集合到K中
包含H?K的右陪集的双射，所以|HK|/|H|?|K|/|H?K|.
（2）?:(H?K)x?(Hx,Kx)是陪集空间G/?H?K?到?G/H???G/K?的映射，且
(Hx,Kx)?(Hy,Ky)当且仅当xy?1?H?K，当且仅当(H?K)x?(H?K)y，所以?是单射，即|G:H?K|?|G:H||G:K|.
（3）根据拉格朗日定理，|G:H|,|G:K|都整除|G:H?K|。如果|G:H|,|G:K|互素，那么|G:H?K|?|G:H||G:K|.
§4 循环群
1 定义 设G为群，如果存在G中元素a使得G中任意元素都是a的方幂，则称G为循环群，a为G的生成元，记G=(a). 思考题：循环群是否必定是交换群？
?2kn?i?G?{x?C|x?1}?e|k?0,1,?,n?1例1 设n为给定正整数，??为n阶循环群.
??n例2 (Z,?)为无限循环群.
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2 设G=(a)，如果存在不同的整数k，l，使得ak=al，那么G为有限循环群，且o(a)=|G|； 如果对任意不同的整数k，l，都有a≠al，那么G为无限循环群.
k证明 考虑Z到G的映射k→ak. 如果对任意不同的整数k，l，都有a≠al，那么映射是双射。
k如果存在不同的整数k，l，使得ak=al，无妨设k﹥l，那么ak-l=e. 取最小正整数n使得an=e. 那么G={e,a,…, an-1}为有限循环群，且o(a)=|G|. 3 定理 （1）循环群的子群也是循环群.
（2）设G=(a)是无限循环群，那么ak为G的生成元当且仅当k=1或-1；
设G=(a)为n阶循环群，那么ak为G的生成元当且仅当k与n互素. 因此，n阶循环群有?(n)个生成元.
（3）设G=(a)是无限循环群，（a）=（al）当且仅当k=l或-l；
k设G=(a)为n阶循环群，（a）=（al）当且仅当它们的阶数相等.
kn?m?（4）设G=(a)为n阶循环群，m|n，那么?a?是G唯一的m阶子群。
??n?m?nk证明 （4）显然?a?是G的m阶子群. 设是G=（a）的m阶子群.，那么?m，即
(n,k)??n?(n,k). 设k?(n,k)s，那么ak?a(n,k)smn?m?ka比较阶数知??=（a）. ??nn?m??m???a???a?. ????s4 模n剩余类加群
设n为给定整数，无限循环群(Z,?)有子群形如(n)?nZ?{nk|k?Z}，该子群决定了整数集合Z的一个等价关系，从而决定了一个分类。对于任意给定整数k，k所在的等价类是
k?{k?ns|s?Z}。于是得到n个等价类
0?{ns|s?Z},1?{1?ns|s?Z},?n?1?{(n?1)?ns|s?Z}.令Z/(n)?0,1,?,n?1，规定加法如下：i?j?i?j
?? 8
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