????1,??g??g?，则称G在集合?1和?2上的作用等价.
注：（1）条件??g??g?指：??g??g?2?1?.
（2）如果G在集合?1和?2上的作用等价，那么G??G??.
?gg?G???G?. 事实上，如果g?G?，那么根据???得g?G??. 所以G??G??. 同理，
故G??G??.
命题 设G传递地作用在集合?上，那么该作用等价于G在G?在G中共轭类集合{g?1G?g|g?G}上的共轭作用，也等价于G在右陪集空间G/G?上的右乘作用. 9多重传递作用与作用的本原性
定义 设G传递地作用在集合?上，如果对任意两个有序子集(?1,?,?k)和
(?1,?,?k)，都存在g?G使得?ig??i,i?1,?,k，则称G在集合?上k-传递.
定义 设G作用在集合?上，??{?1,?2,?,?s}是集合?的划分. 如果
?g?G,?i??，有?ig??，则称划分??{?1,?2,?,?s}被G稳定.
显然，划分{?}和{{g}|g?G}都被G稳定. 如果被G稳定的划分仅有这两个划分，则称G本原地作用在集合?上.
注：（1）本原作用必定是传递作用. 事实上，G的全体轨道所组成的划分被G稳定. 如果G在集合?上作用不传递，那么G非本原.
（2）如果G本原地作用在有限集合?上，??{?1,?2,?,?s}是集合?的划分，那么诸?i的阶数都相等，并且G传递地作用在集合??{?1,?2,?,?s}上.进而
?i整除?.
事实上，根据本原性，?g?G,?i??，有?ig??，所以G传递地作用在集合
??{?1,?2,?,?s}上. 再由?ig与?i阶数相同得证.
（3）设G传递地作用在集合?上，?是素数，那么G本原作用.
定理 设G传递地作用在集合?上，???，??1，那么G本原当且仅当G?是
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G的极大子群.
定理 设G在集合?上作用2-传递，那么G也本原作用.
定理 设G在集合?上作用本原，1?N?G，那么N传递地作用在集合?上.
§12 Sylow定理
设 m整除|G|，那么G中未必有m阶子群，即Lagrange定理的逆定理不成立. 例 A4中没有6阶子群.
证明 A4中有8个3阶元. 如果A4中有6阶子群H，那么H?G，并且H包含3阶元，从而H包含全体3阶元，进而|H|?8，矛盾. 注：一般地，n?5时，An无n!/4阶子群，因为它是单群. 1 Cauchy定理
命题 设H?G，|G:H|?n，那么对任意x?G，有xn?H
注：子群的正规性不能去掉. 例 (12)?S3，|S3:(12)|?3，但是(13)3?(13)?S3.
,g??}引理 设G是p群作用在集合?上，?0?{???|?g?G?，那么
|?|?|?pd. )0|(mo证明 由于G的轨道长度整除|G|，所以G的轨道长度都是p的方幂. 由于?0恰好由G的长度为1 轨道构成，所以|?|?|?0|(modp).
Cauchy定理 假设G是有限交换群，素数p整除|G|?n，那么G中必有p阶子群.
证明 对|G|归纳. 当|G|=1时结论显然成立. 假设定理对阶数小于|G|时成立. 任意取定1?g?G. 如果p整除o(g)，设o(g) = sp, 那么gs就是p阶子群. 下面假设p不整除o(g). 由于G是交换群，所以g?G，并且G/g也是交换群，p整除G/g. 根据归纳假设，G/g中有p阶子群hghp?H. 因此p|o(h)，类似可以找到p阶子群.
. 于是h?H但是
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另证 （MaKay）令S?{(a1,?,ap)|ai?G,a1?ap?1}. 由于a1?ap?1，所以
ap??a1?ap?1??1由a1,?,ap?1唯一确定. 故S?np?1. 由于p|n，所以
|S?|0(mpo. d对任意k?Zp，规定(a1,?,ap)?(k)?(ak?1,?,ak?p)，那么?:k??(k)是Zp到
Sym(S)的同态，所以Zp作用在S上. 根据引理，|S|?|S0|?0(modp). 注意(1,1,?,1)?S0，所以|S0|?1. 因此，存在a?G，使得(a,a,?,a)?S0，即a?G为
p阶元素. 2 Sylow定理Ⅰ
Sylow定理Ⅰ 假设G是有限群，素数p. 如果pm整除|G|，pm?1不整除|G|，那么G中必有pm阶子群.
证明 对|G|归纳. 当|G|=1时结论显然成立. 假设定理对阶数小于|G|时成立. 考虑类方程.|G|?|Z(G)|?x?Z(G)?|G:CG(x)|
如果p不整除|Z(G)|，那么p不整除某个|G:CG(x)|. 于是pm整除|CG(x)|. 由于
x?Z(G)，所以CG(x)?G. 利用归纳假设，知CG(x)有pm阶子群.
下面假设p整除|Z(G)|. 由于Z(G)是交换群，所以根据Cauchy定理Z(G)包含p阶子群H，并且H?G. 于是商群G/H是|G|/p子群. 根据归纳假设，G/H有
pm?1阶子群K/H. 那么K就是pm阶子群.
注：（1）如果pm整除|G|，pm?1不整除|G|，那么G中pm阶子群叫Sylow p-子群. 显然，Sylow p-子群是阶数最大的p-子群.
（2）用Sylp(G)表示G中全体Sylow p-子群的集合，那么G通过共轭作用在
Sylp(G)上.
3 Sylow定理Ⅱ
引理 （1）设P是G的Sylow p-子群，H是NG(P)的一个p-子群，那么H?P.
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（2）P是NG(P)唯一的Sylow p-子群.
证明 （1）由于H是NG(P)的p-子群，P是NG(P)的正规p-子群，所以HP是
NG(P)的p-子群. 比较阶数知HP=P，即H?P.
（2）是（1）的直接推论.
Sylow定理Ⅱ（1）群G的任意两个Sylow p-子群在G中共轭； （2）Sylp(G)?1(modp)，Sylp(G)整除|G:P|； （3）任意一个p-子群都包含在某个Sylow p-子群中.
证明 用Sylp(G)表示G中全体Sylow p-子群的集合，那么G通过共轭作用在
Sylp(G)上. 令?是G通过共轭作用在Sylp(G)上的一个轨道，那么P?Sylp(G)也
作用在?上. 这样，{P}是一个P-轨道.
我们断言{P}是唯一的长度为1的P-轨道. 如果{Q}是一个P-轨道，那么
Q?Sylp(G)，并且P?NG(Q). 根据引理，Q是NG(Q)唯一的Sylow p-子群，
所以Q?P. 因为每个P-轨道的长度是p的方幂，所以|?|?1(modp).
下面证明??Sylp(G). 否则，存在P?Sylp(G)\\?. 根据上面的讨论，考虑
P?Sylp(G)\\?在?上的作用，得到?中没有长度为1的P-轨道，从而
|?|?0(modp)，矛盾. 故??Sylp(G)，即G通过共轭传递地作用在Sylp(G)上，
（1）得证.
l(G)?1(modp. )由于|Sylp(G)?|G|N:GP(，)所以Sylp(G)整除同时，Syp2）成立. |G:P，从而（|令H为G的任意一个p-子群，那么 H也通过共轭作用在Sylp(G)上. 由于
Syl)?1(modp，每个)H-轨道的长度是p的方幂，所以存在一个只包含一个p(G点的H-轨道{P}. 于是，H?NG(P). 再由引理，H?P，从而（3）成立.
Sylow定理的应用
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