第十二章 《全等三角形》教学建议
一、本章的地位与作用
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形有关知识，也学习了一些说理内容，为学习全等形有关概念提供了准备。本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程。由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础。同时，通过本章的学习初步掌握简单的尺规作图方法，进一步提高学生的几何作图能力和识图能力。
二、本章的知识结构
三、本章的学习目标
3.1 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质。 3.2 经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”） 和定理（“角角边”），能判定两个三角形全等。 3.3 能利用三角形全等证明一些结论。
3.4 探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性质。
教学时间约需11课时：
§12.1 全等三角形 §12.2 三角形全等的判定 信息技术应用 探究三角形全等的条件 §12.3 角的平分线的性质 数学活动
小结
四、本章的课时安排（参考教师用书）
1课时 6课时 2课时 2课时
五、教学建议
本章内容作为初中几何最重要的学习工具，熟练准确地应用几种判定方法，主要包括证明两个三角形全等，和通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等。因此，培养推理能力至关重要。 (一)注重体现知识间的联系
全等三角形的性质是由两个三角形全等推出线段相等和角相等的结论，而三角形全等的判定是由线段相 等和角相等的条件判定两个三角形具有全等的关系，因此全等三角形和线段相等和角相等之间存在必然 的联系。在教学过程中，应着眼于学生的最近发展区，建立起新旧知识之间的联系，使学生超越其最近 发展区而达到下一发展阶段的水平。
(二)关注探索能力的培养
探索能力是学生自主研究问题，解决问题的重要能力。在教学时要给予学生时间探索。本章全等三角形 都是可以利用平移、翻折或旋转得到，或者经过综合变换得到，因此，可以让学生动手剪纸，利用平移、 翻折或旋转得到不同的构图情形，要求学生能够找出对应元素和了解他们之间的联系，并熟悉基本图形。
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同时，“三角形全等的判定”一节中，设计了8个探索,教学时以学生画图活动为主线，在实践中体会 图形，然后归纳得出判定方法，重视培养学生分析、探究、归纳问题的能力。
(三)各个课时需要注意的问题
§12.1是认识全等三角形，本节教学应注意三个问题
1． 理解“对应”。它是本章的关键词，理解“对应”可以使本章的后续学习更加通畅。方法是多练习，总
结特点：如两个三角形的公共边、 公共角、对顶角、长边对长边、大角对大角、对应角所对的边、对
应角所夹的边、对应边所对的角、对应边所夹的角等都是对应。
2． 清楚对应边、对应角、对边、对角的区别。对应边、对应角是对两个三角形而言，对边，对角是指同一
个三角形的边与角的对应关系
3． 清楚全等与位置的关系：
全等是指两个图形的大小相等、形状相同，与位置无关，但所见的问题大部分是特殊位置关系下的全等。 可以很好地利用位置特点来认识体会全等（平移，旋转，轴对称，可以教学生用手来体会这些对应方法）。 教材的第32页图12.1-2给了我们学习方法的提示，这有助于学生学会用运动的眼光来看待几何中的相 等关系，有利于体会转化的思想方法。
§12.2是全等三角形的判定方法及应用，本节教学应注意三个问题
1注重几何的书写格式
注意规范书写格式，规范推理过程。在教学中可以通过学生板演改正，教师面批作业的方式等实现目标。 让学生习惯每步有据；所用条件应是已知或由已知获得的，能正确地应用“∵...,∴...”，“∴...，∴...”； 明确全等三角形判定五种方法SSS,SAS,AAS,ASA,HL的书写格式，各个条件的书写位置。 尤其注意强调HL的书写格式，学生容易漏写Rt△，或者理解错误如下。 错例1 在△ACB与△DFE中 错错例2 在Rt△ACB与Rt△DFE中 ∵ AB=DF ∵ AB=DF BC=EF ∠C=∠F=90° ∠C=∠F=90° ∴ △ACB≌△DFE ∴ △ACB≌△DFE
2循序渐进安排练习
精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。在不同的阶段，安排不同的内容，突 出一个重点。开始阶段的例题，证明方向明确、过程简单，容易规范书写格式，主要让学生体会证明思 路及格式。从两段式(条件—全等)过渡到三段式(条件—全等—必要的结论)的证明，逐步增加难度。
3 注重分析证明思路。
教学中注重让学生学会思考问题，学会画出思路图，降低思维难度。有必要让学生养成固定的思考过程模 式：如：证等角---全等三角形---找到相关三角形---找全等条件---联系已知条件。 一般思证明题思路如下：①从条件出发，得出结论；
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②从待证结论出发，倒过来寻找使结论成立所需的条件，一直追溯到与已知条件吻合才得以解决； ③两头凑，分别从条件与结论展开思考从中找到它们的联系
【例1】本题运用综合法分析方法，其思维进程是：已知→可知→问题（结论） 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE， ∠ABC＝∠AED，AF⊥CD于F 求证：CF=DF
【例2】本题运用分析法分析问题，其思维进程是： 要证结论（或问题）→所需条件→已知条件
如图，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE 求证：AD=AE
【例3】本题采用“两头凑”分析问题，
其思维进程是：已知条件→可知条件——所需条件←结论或问题 如图，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上， AG⊥BD、AF⊥CE，垂足为G、F，且AG=AF 求证AD=AE
4 注重引导学生如何选择判定方法
判定三角形全等的方法有5种，我们在教学中要教会学生根据条件选择判定方法（见下表）。当已 知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形（见例4）
已知条件 两边 两角 一角及其对边 一角及其邻边 寻找的条件 ① 找第三边 ②找它们的夹角 ③找直角 ① 找它们的夹边，②找其中一角的对边 找另外一角 ①找角的另一邻边，②找边的另一邻角,③找边的对角 选择的判定方法 SSS SAS HL ASA AAS AAS SAS ASA AAS
【例4】如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。 求证：∠ADB＝∠CDE 分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。 注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC。 故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形， 为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB＝∠CGA。 对照结论需证∠CGA＝∠CDE，又要证△CGE≌△CDE， 这可由CG＝AD＝CD，∠ECG＝∠EBA＝∠ECD，CE＝CE而获证。 5 注意培养图感，让学生熟悉常见典型图 《全等三角形》本章的综合题目往往是涉及多个知识点，图形复杂。我们要求学生熟悉知识概念， 善于发现基本图形模型，进而运用知识解决问题。课本中的典型题目，不仅需要学生能熟练解答， 老师应有意识的引导学生在复杂图形中找到这些基本图形，使问题化简单。 下面就是一个复杂的图形，学生如果能善于分解图形，找到当中的基本图形，解题就事半功倍了。
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6 善于引导学生挖掘隐含条件 题目与图形千变万化，我们要善于挖掘当中的一些隐含条件，为我们推理论证提供准备。 利用中点的定义得出线段相等；利用对顶角得到角相等；利用垂直的定义得到角相等； 利用线段/角的和/差得出相等；利用三角形内角和定理及其推论得到角相等；利用公共边/角得出相等； 利用平行线的性质得出同位角，内错角相等；翻折、平移、旋转得到全等形，从而得到线段和角的相等；
7 关注学生证明三角形全等时一些常见误区
①?? 尽管“边边角”也存在全等形，但这是一个假命题。因此，不能用来证明三角形全等（见例5，6） 【例5】如图，D是△ABC中BC边上一点， 【例6】如图, OB⊥AB，OC⊥AC，OB=OC， 且AD⊥BC，E是AD上一点，EB=EC， 求证：△AOB≌△AOC ∠ABE=∠ACE，请说明∠BAE=∠CAE 错解：∵OB⊥AB，OC⊥AC A 错解：在△AEB与△AEC中 ∴∠ABO=∠ACO =90° ∵ EB=EC 在△AOB与△AOC中 ∠ABE=∠ACE ∵ OA=OA AE=AE OB=OC B C ∴△AEB≌△AEC ∠ABO=∠ACO
D
∴∠BAE=∠CAE ∴△AOB≌△AOC
② 全等条件找不准（见例7，8）
【例7】误用SSS 【例8】误用SAS 如图，AB=AC，AD = AE，CD=BE． 如图，AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD, 求证：△ABD=△ACE 求证∠B=∠D 错解： 在△ABD与△ACE中， 错解： 在△ABC和△ADE中
AC =AE, AB=AC，
∠EAB=∠CAD, AD = AE，
AB=AD, CD=BE
∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴△ABD≌△ACE
∴∠B=∠D
§12.3是研究角的平分线，在教学中注意两点：
1 区分角平分线性质与判定，强调书写格式 我们可以借助于全等三角形的性质与判定的学习经验，明确角平分线性质由角相等推出线段相等。角平分 线的判定是由线段相等推出角相等，进而得出角平分线。运用时弄清垂直关系，书写时不忘垂直条件。 2 认识角平分线性质和判定的作用
本节是全等三角形的应用的延续，但又是全等方法之外获得等角或等线段新方法。本节应注意引导学生 避免证明题时重复证明定理，学会直接用定理解决问题，简化证明过程。但对学生用全等的方法不直接 否定。
此处可以举例课本第50页的例和练习第2题，两种正确证明方法，但全等方法麻烦。
课本第50页练习第2题如图， 课本第50页的例如图，
△ABC的∠B的外角的平分线BD与
已知△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
∠C的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
求证：点P到AB、BC、CA所在直线的距离相等
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