解法二：当E为BB1的中点时，连接DE，如图2，设A1C交AC1于点G，连接BG，DG，∵
BE綊DG，∴四边形DEBG为平行四边形，
则DE∥BG，又DE?平面ABC1，
BG?平面ABC1，则DE∥平面ABC1.(12分)
求二面角E－AC1－B的余弦值同解法一．(20分)
4．[2016·江苏高考](本小题满分20分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.(1分) 因为A1B1＝AB＝6，
11223
所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B1·PO1＝×6×2＝24(m)．(4分)
33正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB·O1O＝6×8＝288(m)．(7分) 所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m)．(8分)
3
2
2
3
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，则0 2 2 2 ?2?2222 a?＋h＝36，即a＝2(36－h)．(12分) ?2? 13 133 263 于是仓库的容积 V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0 2622 从而V′＝(36－3h)＝26(12－h)．(17分) 3令V′＝0，得h＝23或h＝－23(舍)． 当0 1 5．[2016·江西联考](本小题满分20分) 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2， 2∠ABC＝60°，M是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC1D1(如图)． (1)求证：BC1⊥AC； (2)求二面角D1－AM－C的余弦值． 解 (1)证明：在等腰梯形ABCD中，∵∠ABC＝60°， ∴AC⊥AB，同理AC1⊥AB， 而据题意可知：二面角C－AB－C1为90°，(2分) 则平面角为∠CAC1＝90°，即AC⊥AC1，(4分) 又∵AB∩AC1＝A，∴AC⊥平面ABC1，(6分) ∴BC1⊥AC.(8分) (2)以A为坐标原点，分别以AB、AC、AC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M(1，3，0)，C(0，23，0)，D1(－1,0，3)，(10分) →→ ∴AM＝(1，3，0)，AD1＝(－1,0，3)， 设n＝(x，y，z)⊥平面AMD1， ?x＋3y＝0，得? ?－x＋3z＝0， ＝令x＝3，则n＝(3，－1,1)，(13分) 又有m＝(0,0,1)⊥平面AMC，(16分) ∴cos〈m，n〉＝ 15 5 ，(18分) 5 5 .(20分) 5 故所求二面角余弦值为 6．[2016·北京高考](本小题满分20分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5. (1)求证：PD⊥平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 解 (1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， 所以AB⊥平面PAD，(3分) 所以AB⊥PD. 又PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.(6分) (2)取AD的中点O，连接PO，CO. 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 因为PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD.(8分) AMAP因为CO?平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AC＝CD，所以CO⊥AD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)， P(0,0,1)．(10分) 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 ??→ ?n·PC＝0， → n·PD＝0， ??－y－z＝0，即? ?2x－z＝0，? 令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．(12分) → →→n·PB3又PB＝(1,1，－1)，所以cos〈n，PB〉＝＝－.(14分) →3|n||PB|所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 3 .(15分) 3 →→ (3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]，使得AM＝λAP. 因此点M(0,1－λ，λ)，(16分) → BM＝(－1，－λ，λ)． 因为BM?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD， → 则BM·n＝0，(18分) 1 即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝. 4所以在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD， AM1 此时＝.(20分) AP4 7．[2016·天津高考](本小题满分20分)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
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