(1)求证：EG∥平面ADF； (2)求二面角O－EF－C的正弦值；
2
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
3→→→
解 依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以AD，BA，OF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，
C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0,0)．(2分)
→→
(1)证明：依题意，AD＝(2,0,0)，AF＝(1，－1,2)．设n1＝(x，y，z)为平面ADF的法→?n·AD＝0，
向量，则?→
?n·AF＝0，
11
??2x＝0，
即?
?x－y＋2z＝0.?
不防设z＝1，可得n1＝(0,2,1)，(5分)
→→
又EG＝(0,1，－2)，可得EG·n1＝0， 又直线EG?平面ADF， 所以EG∥平面ADF.(7分)
→
(2)易证，OA＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量．(8分) →→
依题意，EF＝(1,1,0)，CF＝(－1,1,2)．
?n·→EF＝0，
设n＝(x′，y′，z′)为平面CEF的法向量，则?
?n·→CF＝0，
2
2
2
??x′＋y′＝0，
即?
?－x′＋y′＋2z′＝0.?
不妨设x′＝1，可得n2＝(1，－1,1)．(11分)
→
→OA·n26
因此有cos〈OA，n2〉＝＝－，(13分)
→3|OA|·|n2|→3
于是sin〈OA，n2〉＝. 3所以二面角O－EF－C的正弦值为
3
.(14分) 3
→→2→?224?22
(3)由AH＝HF，得AH＝AF.因为AF＝(1，－1,2)，所以AH＝AF＝?，－，?，进而有
55?355?5
?334?H?－，，?，(17分) ?555?
→?284?
从而BH＝?，，?，
?555?
→
→BH·n27
因此cos〈BH，n2〉＝＝－.(19分)
→21|BH||n2|所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为7
.(20分) 21
8．[2017·河北五校联考](本小题满分20分)如图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，
AB＝2BC＝2CD＝8，CD⊥BC，O为AB的中点．将四边形OBCD沿OD折起，使平面OBCD⊥平面ODA，如图2，点E，F分别为CD，OA的中点．
(1)求证：DF∥平面AEB；
(2)线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为出的值；若不存在，请说明理由．
6
？若存在，请求18
DMMA
解 (1)证明：如图，取AB的中点G，连接FG，EG. 又F为OA的中点，所以FG∥OB，又OB∥DE，所以FG∥DE. 11
又FG＝OB，DE＝OB，
22所以FG＝DE.(3分)
所以四边形EDFG为平行四边形，所以DF∥EG.
又EG?平面AEB，DF?平面AEB，所以DF∥平面AEB.(7分)
(2)依题意知平面OBCD⊥平面ODA，OB⊥OD，平面OBCD∩平面ODA＝OD， 所以OB⊥平面AOD，得OB⊥OA.
又AO⊥OD，故以O为坐标原点，OD，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(10分)
易知AO＝OD＝4，DC＝4，可得A(0,4,0)，E(4,0,2)，B(0,0,4)，
D(4,0,0)．
→
所以AE＝(4，－4,2)，
→
AB＝(0，－4,4)．
设平面AEB的法向量为n＝(a，b，c)，
?n·→AE＝0，由?→
?n·AB＝0，
??4a－4b＋2c＝0，得???－4b＋4c＝0，
取a＝1，则n＝(1,2,2)为平面AEB的一个法向量．(14分)
→
假设线段AD上存在满足条件的点M，可设点M(t,4－t,0)，其中0≤t≤4，则BM＝(t,4－t，－4)．
→
→|n·BM|
从而|cos〈n，BM〉|＝ →|n||BM|＝|t＋
2
－t＋
－t2
－＋16
3t＋
＝， 2
32t－8t＋32
t→t6
依题意得|cos〈n，BM〉|＝＝， 2
32t－8t＋3218解得t＝2或t＝－4(舍去)．
此时M(2,2,0)，即M为AD的中点，故＝1.(18分) 故线段AD上存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为
6DM，且＝1.(20分) 18MADMMA
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