北京市丰台区高三二模 .5
数学（理科）
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项． 1．复数
1?i的虚部是 2?i(B) ?i
(A) ?i
35(C) –1
(D) ?3 52．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为
(A) 2 (C) 2 3．由曲线y?(B) 3 (D) 4
俯视图1与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是 x3123 (A) (B)
32161(C) ln4? (D) ln4?1
24．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 开始 (A) n?7 (B) n?7 (C) n?6 (D) n?6
S?0，n?1，a?3 5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次 S?S?a 数恰为3次的概率是
uuuruuur6．在△ABC中，∠BAC=90o，D是BC中点，AB=4，AC=3，则AD?BC= (A) ?7 (C)
(B) ?18 12544(C)
125(A) 36 12581(D)
125(B)
n?n?1 a?a?2 否 是 输出S 结束 7 27 2(D) 7
7．已知函数y?sinax?b(a?0)的图象如图所示，则函数y?loga(x?b)的图象可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
8．已知平面上四个点A1(0,0)，A2(23,2)，A3(23?4,2)，A4(4,0)．设D是四边形A1A2A3A4及其内部的点构成的点的集合，点P0是四边形对角线的交点，若集合
S?{P?D||PP0|?|PAi|,i?1,2,3,4}，则集合S所表示的平面区域的面积为
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 16
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在极坐标系中，圆??2sin?的圆心的极坐标是____．
x2y210．已知椭圆2?2则该椭圆的?1(m?7)上一点M到两个焦点的距离分别是5和3，
mm?7离心率为______．
11．如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______． 12．某地区恩格尔系数y(%)与年份x的统计数据如下表：
年份x 恩格尔系数y(%) 2004 47 2005 45.5 2006 43.5 2007 41 PCADB
??4055.25，据此模型可预??bx从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为y测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．
13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：①点A，B都在函数y?f(x)图象上；②
点A，B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数y?f(x)的一个“姐妹点对”（规定点
对(A,B)与点对(B,A)是同一个“姐妹点对”）．那么函数f(x)??x?x?4,x?0, 的2x?2x,x?0,?“姐妹点对”的个数为_______；当函数g(x)?a?x?a有“姐妹点对”时，a的取值范围是______．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数f(x)?cosx(3cosx?sinx)?3． （Ⅰ）求f()的值；
（Ⅱ）求函数y?f(x)在区间[0,]上的最小值，并求使y?f(x)取得最小值时的x的值．
16.（本小题共13分）
某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现．
金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望Eξ=22．
?3?2ξ P 100 0.05 80 60 0 0.7 a b （Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．
17.（本小题共14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90o， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中点，
(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP；
(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为6，求PF的长度． 3FEPADBC
18.（本小题共13分）
n?已知数列{an}满足a1?4，an?1?an?p?3?1(n?N，p为常数)，a1，a2?6，a3成
等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{an}的通项公式；
4n2（Ⅱ）设数列{bn}满足bn?，证明：bn?．
9an?n
19.（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F的距离为5．斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；
（Ⅱ）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．
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