20.（本小题共13分）
设函数f(x)?xlnx?(a?x)ln(a?x)(a?0)． （Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的最小值；
（Ⅱ）证明：对?x1，x2∈R，都有x1lnx1?x2lnx2?(x1?x2)?ln(x1?x2)?ln2?；
+
（Ⅲ）若
?xi?12ni?1，证明：?xilnxi??ln2n (i,n?N*)．
i?12n（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
北京市丰台区2012年高三二模 数 学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．(1,?2) 10．
737 11．3， 4712．31.25 13． 96 14．1，a?1
注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.解：因为f(x)?cosx(3cosx?sinx)?3＝3cosx?sinxcosx?3 =3(21?cos2x1)?sin2x?3 22＝313cos2x?sin2x? 222?3)?． 62??3?)? 362＝cos(2x?（Ⅰ）f()?cos(2??3
=?…………7分
33???3． …………22（Ⅱ）因为 x?[0,]，
所以
?2????． ?2x??6663?5?时，函数y?f(x)有最小值是?1?． ??，即x?2612当 2x?当
x?5?12时，函数
y?f(x)有最小值是
?1?
3． ……………………13分 216．解：（Ⅰ）依题意，E??100?0.05?80a?60b?0?0.7?22，
所以 80a?60b?17．
因为 0.05?a?b?0.7?1，
所以a?b?0.25． 由
?80a?60b?17,??a?b?0.25, 可得
?a?0.1, ……………………7分 ?b?0.15.?（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．
奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A，
则P(A)?0.05?0.05?2?0.05?0.1?2?0.05?0.15?0.1?0.1?0.0375．
答：该顾客获得奖金数不少于0.0375． ……………………13分
17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．
因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP为三角形BDF中位线，
所以BF // OP， 因为BF?平面ACP，OP?平面ACP，
所以BF // 平面ACP． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF=90o，
B160元的概率为
FEPAOCD
所以AF⊥AB，
因为 平面ABEF⊥平面ABCD， 且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz．
zFEP11所以 B(1,0,0)，E(,0,1)，P(0,1,)，C(1,2,0)． 22uuuruuur11所以 BE?(?,0,1)，CP?(?1,?1,)，
22uuuruuuruuuruuurBE?CP45Bruuur?所以cos?BE,CP??uuuu，
x|BE|?|CP|15即异面直线BE与CP所成角的余弦值为
ADyC45． …………15…………9分
（Ⅱ）解：因为AB⊥平面ADF，
ur所以平面APF的法向量为n1?(1,0,0)．
设P点坐标为(0,2?2t,t)，
uuuruuur在平面APC中，AP?(0,2?2t,t)，AC?(1,2,0)，
uur2t?2所以 平面APC的法向量为n2?(?2,1,)，
turuururuur|n1?n2|26ruur?所以 cos?n1,n2??u， ?3|n1|?|n2|2t?22(?2)2?1?()t解得t?此
2，或t?2（舍）． 3时
|PF|?
5． ……………………14分 3n18．解：（Ⅰ）因为a1?4，an?1?an?p?3?1，
12所以a2?a1?p?3?1?3p?5；a3?a2?p?3?1?12p?6．
因为a1，a2?6，a3成等差数列，
所以2(a2?6)=a1+a3， 即6p?10?12?4?12p?6， 所以 p?2．
n依题意，an?1?an?2?3?1，
1所以当n≥2时，a2?a1?2?3?1，
a3?a2?2?32?1，
……
an?1?an?2?2?3n?2?1， an?an?1?2?3n?1?1．
n?1n?22相加得an?a1?2(3?3?L?3?3)?n?1，
3(1?3n?1)?(n?1)， 所以 an?a1?21?3n所以 an?3?n．
1当n=1时，a1?3?1?4成立，
所以
an?3n?n． ……………………8分
n（Ⅱ）证明：因为 an?3?n，
n2n2?． 所以 bn?n(3?n)?n3n(n?1)2n2?2n2?2n+1*?n=因为 bn?1?bn?，(n?N)． n+1n?1333若 ?2n+2n?1?0，则n?又因为 b1?所
21?3，即 n?2时 bn?1?bn． 214，b2?， 39以
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