bn?4． ……………………13分 9
19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C：x2?2py(p?0)，
因为点P到焦点F的距离为5，
所以点P到准线y??p2的距离为5． 因为P(x，4)，所以由抛物线准线方程可得 p02?1，p?2．
所
以
抛
物
线
的
标
准
方
程
x2?4y． ……………………4分
即 y?14x2，所以 y'?12x，点P(±4，4)， 所以 y'|11x??4?2?(?4)??2，y'|x?4?2?4?2．
所以 点P(-4，4)处抛物线切线方程为y?4??2(x?4)，即2x?y?4?0；点P(4，4)处抛物线切线方程为y?4?2(x?4)，即2x?y?4?0．
P点处抛物线切线方程为
2x?y?4?0，2x?y?4?0． ……………………7分
（Ⅱ）设直线l的方程为y?2x?m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
??x2联立 ?4y2y?2x?m，消y得 x?8x?4m?0，??64?16m?0．
?所以 x1?x2?8，x1x2??4m， 所以
x1?x2?4，y1?y222?8?m， 即AB的中点为Q(4,8?m)．
所以 AB的垂直平分线方程为y?(8?m)??12(x?4)． 因为 四边形AMBN为菱形，
所以 M(0,m?10)，M，N关于Q(4,8?m)对称， 所以 N点坐标为N(8,m?6)，且N在抛物线上， 所以 64?4?(m?6)，即m?10，
为
或
所以直线
l的方程为
y?2x?10． ……………………14分
20．解：（Ⅰ）a?1时，f(x)?xlnx?(1?x)ln(1?x)，(0?x?1)，
则f?(x)?lnx?ln(1?x)?ln令f?(x)?0，得x?当0?x?x． 1?x1． 211时，f?(x)?0，f(x)在(0,)是减函数， 2211当?x?1时，f?(x)?0，f(x)在(,1)是增函数， 221所以 在时取得最f(x)x?211f()?ln． ……………………4分 22（Ⅱ）因为 f(x)?xlnx?(a?x)ln(a?x)，
所以 f?(x)?lnx?ln(a?x)?ln所以当x?小值，即
x． a?xa时，函数f(x)有最小值． 2?x1，x2∈R+，不妨设x1?x2?a，则
x1lnx1?x2lnx2?x1lnx1?(a?x1)ln(a?x1)?2?x1?x2x?xln(12) 22?(x1?x2)?ln(x1?x2)?ln2?． …………
…………8分
（Ⅲ）（证法一）数学归纳法
ⅰ)当n?1时，由（Ⅱ）知命题成立．
*
ⅱ）假设当n?k( k∈N)时命题成立，
k即若x1?x2?L?x2k?1，则x1lnx1?x2lnx2?L?x2klnx2k??ln2．
当n?k?1时，
x1，x2，…，x2k?1?1，x2k?1满足 x1?x2?L?x2k?1?1?x2k?1?1．
设F(x)?x1lnx1?x2lnx2?L?x2k?1?1lnx2k?1?1?x2k?1lnx2k?1， 由
（
Ⅱ
）
得
F(x)?(x1?x2)ln[(x1?x2)?ln2]?L?(x2k?1?1?x2k?1)ln[(x2k?1?1?x2k?1)?ln2]
=
(x1?x2)ln(x1?x2)?L?(x2k?1?1?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?(x1?x2?...?x2k?1)ln2
=(x1?x2)ln(x1?x2)?L?(x2k?1?1?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?ln2．
由假设可得 F(x)??ln2?ln2??ln2kk?1，命题成立．
所以当 n?k?1时命题成立．
*
由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N，命题都成立， 所
以
若
?xi?1i?12n，则
n xlnx??ln2?iii?12n(i,n?N*)． ……………………13分
（证法二）若x1?x2?L?x2n?1， 那么由（Ⅱ）可得
x1lnx1?x2lnx2?L?x2nlnx2n
?(x1?x2)ln[(x1?x2)?ln2]?L?(x2n?1?x2n)ln[(x2n?1?x2n)?ln2] ?(x1?x2)ln(x1?x2)?L?(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?(x1?x2?...?x2n)ln2 ?(x1?x2)ln(x1?x2)?L?(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?ln2
?(x1?x2?x3?x4)ln(x1?x2?x3?x4)?L(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?2ln2 ?L?(x1?x2?...?x2n)ln[(x1?x2?L?x2n)?ln2]?(n?1)ln2??ln2n．
…………
…………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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