数列常见题型总结 题型四：求数列的通项公式
一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：an和据具体情况采用下列方法
1、叠加法：一般地，对于型如an?1?an?f(n)类的通项公式，且f(1)?f(2)???f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。
即：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a2?a1)?a1(n?2)；
【例1】已知数列?an?满足a1?解：（1）由题知：an?1?an?an-1的关系时我们可以根
11，求数列?an?的通项公式。 ,an?1?an?22n?n1111??? n2?nn(n?1)nn?1 ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?……+(a2-a1)?a1
?(111111131?)?(?)?……?(?)? ?? n?1nn?2n?11222n2、叠乘法：一般地对于形如“已知a1，且
an?1=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式ananan?1a??L?2?a1(n?2)； an?1an?2a1可通过叠乘法求数列的通项公式。即：an?【例2】在数列｛an｝中，a1 =1, (n+1)·an?1=n·an，求an的表达式。
解：由(n+1)·an?1=n·an得
an?1n， ?ann?11ana2a3a4an123n?11? 所以an? =…=???··
nnna1a1a2a3an?12343、构造法：当数列前一项和后一项即an和
an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数
列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。 （1）、待定系数法： ①、一般地对于
an =kan-1 +m(k、m为常数）型，可化为的形式an +λ=k(an-1 +λ).重新
- 1 -
数列常见题型总结
构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求an。
【例3】设b>0,数列?an?满足a1=b，an?求数列?an?的通项公式；
解：
nban?1(n?2)an?1?2n?2.
anban?1nan?1?2(n?1)12n?1????，得， ?ababbanan?1?2(n?1)nn?1n?1设
n21?bn，则bn??bn?1?(n?2)， anbb（ⅰ）当b?2时，?bn?是以即bn?11为首项，为公差的等差数列， 22111?(n?1)??n，∴an?2 222222?(bn?1??)，则bn??bn?1??(?1)， bbb（ⅱ）当b?2时，设bn???令?(?1)?知bn?2b11121，得??，?bn???(bn?1?)(n?2)， b2?b2?bb2?b11121是等比数列，?bn??(b1?)?()n?1，又b1?，
b2?b2?b2?bb12n112n?bnnbn(2?b)?bn??()???，?an?． nnn2?bb2?b2?bb2?b②、对于an?1?pan?f(n)(其中p为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：
i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为an?1?Aan?Bn?C型，可化为
an?1??1n??2?A[an??1(n?1)??2]的形式来求通项。
【例4】设数列?an?中，a1?1,an?1?3an?2n?1，求?an?的通项公式。 解：设an?1?A(n?1)?B?3(an?An?B)?an?1?3an?2An?2B?A
?2A?2?A?1 与原式比较系数得：?即an?1?(n?1)?1?3(an?n?1) ??2B?A?1B?1?? 令bn?an?n?1,则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3 ??bn?是b1=3为首项，公比q=3的等比数列
?bn?3?3n?1?3n即:an?3?n?1n
- 2 -
数列常见题型总结
nii、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为an?1?Aan?B?C（A、B、C为常数，）n?1n型，可化为an?1???C=A(an???C）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求an
当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求an。
n?1*【例5】设a0为常数，且an?3?2an?1（n?N），
证明：对任意n≥1，an?1n[3?(?1)?2n]?(?1)n?2n?a0 5nn?1n?1解：证明：设an?t?3??2(an?1?t?3) 用an?3?2an?1代入可得t?1 53n∴ ?an?5?是公比为?2，首项为a1?3的等比数列，
53n3?(1?2a0?)?(?2)n?1（n?N*）∴ an?， 553n?(?1)n?1?2n?(?1)n?2n?a0 即：an?5
（2）、倒数法：一般地形如an?an?1、an?an?1?an?1?an等形式的递推数列可以用
kan?1?b倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
an?1，求?an?的通项公式。
3an?1?113an?1?11 解：原式两边取倒数得： ??3?anan?1an?111 设bn =,则bn-bn-1=3,且b1=1 ??bn?是b1=为首项，公差d=2的等差数列
an31 ?bn?1?(n?1)?3?3n?2 即an?
3n?2【例6】.已知数列?an?满足：a1?1,an?（3）、对数法：当数列an和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：an= man-1（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
p
q
- 3 -
数列常见题型总结
【例7】若数列{an}中，a1=3且an?1?an（n是正整数），则它的通项公式是an=▁▁▁
解 由题意知an＞0，将an?1?an两边取对数得lgan?1?2lgan，即
22lgan?1?2，所lgann?1以数列{lgan}是以lga1=lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan?lga1?2n?1?lg32即an?32n?1 ，
.
（4）、特征方程法
①、一般地对于形如已知a1?m1,a2?m2,an+2=A an+1 +B an (A、B是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。 法一：可用特征方程的方法求解：
我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程
nn（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：an?c1?p?c2?q，其中c1与c2
由已知a1?m1,a2?m2,确定。
n（ii）当方程有唯一的实根p时，有an?(c1?n?c2)p，其中c1与c2由已知a1?m1,a2?m2,确定。
法二：可构造成an?2?x1an?1?x2(an?1?x1an)，则{an?1?x1an}为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。
【例8】已知 a 1 =2， a 2 =3，an?2?2an?1?an，求通项公式。
解法一：特征方程的根为1，所以an = (c1 n+c2)×1n
由：??c1?c2?2得c1 = c2 = 1，所以an = n + 1。
?2c1?c2?3解法二：设an?2?x1an?1?x2(an?1?x1an)，可得x 1 = x 2 = 1，于是{an+1－an }是公比为1的等比数列，an+1－an = 1，所以an = n + 1。
a?an?b（a、b、c、d为常数）
c?an?dax?b2可得到相应的特征方程：x?，再将其变为cx?(d?a)x?b?0，通过该方程的根
cx?d②、一般地形如：an?1?的情况来重新构造数列。
?an?p?a1?p（i）如果方程cx?(d?a)x?b?0有两个相异的实根，则有数列?为?是以
a?qa?q1?n?a?cp首项，为公比的等比数列；
a?cq2?1?1（ii）如果方程cx?(d?a)x?b?0有两个相同的实根，则数列?为首?是以
a?pa?p1?n?2- 4 -
相关推荐：
loading