??an－1≤an，
(1)可以利用不等式组?(n≥2)找到数列的最大项；
?an≥an＋1???an－1≥an，
(2)利用不等式组?(n≥2)找到数列的最小项．
??an≤an＋1
1．(2016·辽宁大连统考，5)数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值，若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为( ) 1316
A．0 B．4 C. D. 33
53
n－?＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，1．A [考向3]因为an＝－3??2?4最大值为a2＝a3＝0.
1111
2．(2014·河南洛阳四校联考，5)已知数列{an}满足条件a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋
22225，则数列{an}的通项公式为( ) A．an＝2
n＋1
2
??14（n＝1），
B．an＝?n＋1
?2（n≥2）?
＋
C．an＝2n D．an＝2n2
1111
2．B [考向2]由题意可知，数列{an}满足条件a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋5，
22221111
则n＞1时，有a1＋2a2＋3a3＋…＋n－1an－1＝2(n－1)＋5，n>1，
2222两式相减可得，
an＝2n＋5－2(n－1)－5＝2， 2n∴an＝2n1，n>1，n∈N*.
＋
a1当n＝1时，＝7，∴a1＝14，
2综上可知，数列{an}的通项公式为
?14（n＝1），?an＝?n＋1
?2（n≥2）.?
易错点拨：下标为n－1时，忽略n≥2，没有进行讨论，没有分段写an.
23．(2016·陕西西安质检，15)已知正项数列{an}满足a2n＋1－6an＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}
的前n项和为________．
2
3．[考向1]【解析】 ∵a2n＋1－6an＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，∴Sn＝3n－1. 【答案】 3n－1
4．(2015·湖南长郡中学调研，13)科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜n
即?；如果n是奇数，则将它乘3加想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半??2?1(即3n＋1)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：
(1)如果首项n＝2，则按照上述规则施行变换后的第8项为________；
(2)如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1(注：1可以多次出现)，则n的所有不同值的个数为________．
4．[考向1]【解析】 (1)如果n＝2，按以上变换规则，得到数列：a1＝2，a2＝1，a3＝4，?，a8＝1.
(2)设对正整数n按照上述变换，得到数列a1，a2，?，a7，a8， ∵a8＝1，则a7＝2?a6＝4?
???
?a＝8?a＝16??a＝20，
a＝5?a＝10? ???a＝3，
?a＝1?a＝2?a＝4?a＝1?a＝2，?a＝8?a＝16，
5
4
3
2
??a1＝128，
a3＝32?a2＝64??
?a1＝21，?
?????
1
1
543
??
???
22
13
则n的所有可能取值为2，3，16，20，21，128共6个． 【答案】 (1)1 (2)6
5．(2016·河南郑州一模，17，12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．
5．[考向2]解：(1)由Sn＝2an－2可得a1＝2.因为Sn＝2an－2， an所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即＝2.
an－1
所以数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝2n(n∈N*)．
(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an n（n＋1）
＝1＋2＋…＋n＝.
2
（n－8）（n＋1）
若(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立，即实数≥k对任意n∈N*恒成立．
21
设cn＝(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，cn取得最小值，为－10，
2所以k≤－10.
6．(2015·福建三明一模，19，12分)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*满足2Sn＝an(an＋1)，且an≠0. (1)求数列{an}的通项公式；
??an＋1，n为奇数，(2)设cn＝?求数列{cn}的前2n项和T2n.
?3×2an－1＋1，n为偶数，?
6．[考向2]解：(1)因为2Sn＝an(an＋1)，① 所以当n≥2时， 2Sn－1＝an－1(an－1＋1)．②
2
两式相减得2an＝a2n－an－1＋an－an－1，
即an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)． 因为an≠0，所以当n≥2时，有an－an－1＝1. 又当n＝1时，由2S1＝a1(a1＋1)及a1≠0得a1＝1. 所以数列{an}是等差数列，其通项公式为an＝n(n∈N*)．
??n＋1，n为奇数，(2)由(1)得cn＝? n－1
?3×2＋1，n为偶数.?
所以T2n＝(2＋4＋…＋2n)＋3×(21＋23＋?＋22n1)＋n
－
2（1－4n）
＝n(n＋1)＋3×＋n
1－4＝22n1＋n2＋2n－2.
＋
1．(2015·课标Ⅱ，5，易)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 B．7
C．9 D．11
1．A [考向1]∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，得3a3＝3，则a3＝1， 5（a1＋a5）∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
2
2．(2015·课标Ⅰ，7，中)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝( ) 1719
A. B. C．10 D．12 22
8×7?4a1＋4×3×1?，解得a1＝1， 2．B [考向1]由S8＝4S4得8a1＋×1＝4×2??2219
∴a10＝a1＋9d＝，故选B.
2
3．(2013·安徽，7，中)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．2
8（a1＋a8）3．A [考向1]由等差数列前n项和公式知S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)．又S8＝
24a3，∴4(a7＋a2)＝4a3，∴－2＋a2＝a3，∴公差d＝－2.∴a9＝a7＋2d＝－6.
4．(2015·陕西，13，易)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
4．[考向1]【解析】 设该数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得a1＋2 015＝2×1 010，从而a1＝5. 【答案】 5
5．(2016·课标Ⅱ，17，12分，中)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
5．[考向1]解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3. 2解得a1＝1，d＝.
5所以{an}的通项公式为an＝(2)由(1)知，bn＝?
2n＋3??5?.
2n＋3
. 5
2n＋3
当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；
5
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