§4 最大公因式（2课时） 说课案
教 材：《高等代数》（第三版）高等教育出版社 授课教师：王 康
一、背景分析
1、学习任务分析：通览本章，本章主要围绕多项式根的问题和不同数域因
式分解的问题展开讨论；结合学生的知识积累过程，本章又可以看做是初中代数关于因式分解问题的延续和更一般意义上的拓展。归根结底，都是有关多项式因式分解的问题，故而，最大公因式的概念和其求法就显得尤为重要；对于数学专业的学生来说，不光要知其然更要知其所以然，所以说辗转相除法的一般原理也是我们教学的重点；而利用辗转相除法求两个多项式的最大公因式时，一种特殊的更重要的结果——互素就产生了。
教学重点：最大公因式的概念、辗转相除法（定理2的证明）、互素的概念。
2、学生情况分析：学生经过四年数学专业知识的训练和学习，已具备一定的逻辑推理能力，数学思维也逐步向理性层次越近，故对于定理的证明推导过程应该能够理解。但是，辗转相除法本身是一个非常复杂、工程量比较大的运算过程，所以要求学生必须要非常细心和有足够的耐心。这本身对学生的数学素养和一丝不苟的科学精神的一个培养和锻炼！
教学难点：利用辗转相除法来求两个多项式的最大公因式
教学关键：通过定理的证明和例题的训练，学生必须要搞清辗转相除法到底除到什么程度，要求的最大公因式在哪里。否则，学生会因为反复相除目标茫然而放弃！
二、教学目标设计 1.知识目标：
? 从字面意思上深刻理解最大公因式的“最大”“公因式”的含义 ? 利用辗转相除法求两个多项式的最大公因式和判别两个多项式互素 ? 结合互质的概念深刻理解互素
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2.能力目标：
? 培养学生的观察与类比能力：从两个正整数的最大公约数和互质的概念类
比到两个多项式的最大公因式和互素的概念 ? 培养学生的逻辑推理能力
3.情感目标：
? 在复杂问题和运算面前表现出不畏困难、勇于进取、一丝不苟的科学精神
和数学素养
三、教学结构和教学过程设计
本节课旨在培养学生的观察和类比能力和不畏繁琐、一丝不苟的科学精神，所以设计教学结构如下。
整体思路为：教师提出高次多项式的因式分解问题，引出课题→通过类比数中约数（因子）的概念与多项式中因式的概念，给出最大公因式定义→提出如何求两个多项式的最大公因式，引出辗转相除法→例题板演→提出如果最后的余式不是0，而是非零常数，引出互素的概念→多项式互素和数的互质类比→反馈同学们的学习掌握情况
四、教学过程设计
为了达到以上教学目标，在具体教学中，根据循序渐进、层层推进的原则，把本次课细分为如下具体步骤。 1. 导入
（1）提出从本节课开始，我们要解决高次多项式的因式分解问题，激发学生兴趣，引出课题。
（2）类比数中约数和多项式的因式如下： 12的约数有：2、3、4、6 18的约数有：2、3、6、9
12与18的公约数有：2、3、6取最大公约数 x?1|x2?1，a|x2?1 x?1|x3?1，a|x3?1 x2?1与x3?1的公因式有：x?1、a(a为非零常数)取最大公因式（次数最大的） 第 2 页 共 4 页
引出最大公因式d(x)的定义，其中包括两点：（1）d(x)是公因式 （2）其他任意的因式如?(x)都是它的因式，即?(x)|d(x)，亦即d(x)是所有因式中次数最高的。
根据定义特别强调两种特殊情况：f(x)与0的最大公因式是f(x)；f(x)与非零常数a的最大公因式是a （这两个结论在后边内容上有用） 2. 如何求最大公因式？
提出问题，进一步激发学生的学习兴趣，先给出引理，然后引出辗转相除法（即定理2）
（1）引理：如果有等式f(x)?q(x)g(x)?r(x)成立，那么f(x)、g(x)和g(x)、r(x)有相同的公因式。
最大公因式是在公因式中找次数最大者，故而由此等式引入辗转相除法。 （2）定理2：对于P[x]中任意两个多项式f(x)、g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表成f(x)、g(x)的一个组合，即有d(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x)
此定理的证明过程其实就是用辗转相除法具体求解最大公因式的过程，证明过程较为繁琐，但是重点强调：所谓辗转相除就是利用余式反复地去除其相对应的除式，余式次数不断降低，直至余式0。 3. 例题板演
虽然学生们掌握了辗转相除法的原理，但因其运算量较大，所以对辗转相除法的具体格式还要做进一步的板演和规范。
求f(x)?x4?3x3?x2?4x?3与g(x)?3x3?10x2?2x?3的最大公因式 通过此例题指出：两个多项式的最大公因式在相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的，一般将首项系数为1的那个作为最大公因式。 4. 互素
通过对上述例题的反思，提出：如果最后的余式不恰好是0，怎么办？教师纠正，最终的余式要么是0，要么是零次多项式（即非零常数）。因为随着
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余式次数的降低，必然这么两个结果，不可能出现次数是负数的情形（多项式定义不允许），引出互素的概念。 5. 互素与互质的类比
再次回到数与多项式的类比上来，引导学生归纳出互素即为两多项式除了非零常数外再没有其他公因式。 6. 作业布置
独立完成本书习题5（1）、（3） 五、板书设计：
由于本说课案的授课内容是2课时的课容量，即两小节课，所以，对板书的设计分两块。
板书1 §4最大公因式 引理 公约数和公因式的比较 最大公因式定义 最大公因式的两种特殊情形 板书2 提出问题，引出互素概念 学生练习1 互素与互质的类比 定理2 例题板演 学生练习2 第 4 页 共 4 页
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