15. 57．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））
如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC,
AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为
2, 求线段AM的长. 6
8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,A1B,A1E,
∵AB=AA1,?BAA1=60,∴?BAA1是正三角形,
∴A1E⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵CE?A1E=E,∴AB⊥面CEA1,
0∴AB⊥AC1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,EA1⊥AB,
又∵面ABC⊥面ABB1A1,面ABC∩面ABB1A1=AB,∴EC⊥面ABB1A1,∴EC⊥EA1,
????????∴EA,EC,EA1两两相互垂直,以E为坐标原点,EA的方向为x轴正方向,|EA|为单位长度,建立
如图所示空间直角坐标系O?xyz, 有
题
设
知
A(1,0,0),
A1(0,
3,0),C(0,0,
3),B(-1,0,0),则
????????????????BC=(1,0,3),BB1=AA1=(-1,0,3),A1C=(0,-3,3),
设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,
???????n?BC?0?x?3z?0则?,即,可取n=(3,1,-1), ????????n?BB1?0?x?3y?0????????n?A1C10????∴cosn,A1C=, 5|n||A1C|∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为10 59．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥
平面ABCD, AB?AA1?2. (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
DAOA1D1B1C1CB(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角?的大小.
解:(Ⅰ) ?A1O?面ABCD,且BD?面ABCD,?A1O?BD;又因为,在正方形AB CD中,AC?BD；且A1O?AC?A,所以BD?面A1AC且A1C?面A1AC，故A1C?BD. 在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT?A1OA中，A1O?1.
设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C?E1O.
又BD?面BB1D1D,E1O?面BB1D1D，.且BD?E1O?O，所以由以上三点得A1C?面BB1D1D.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.
以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则
B（0,1,0）,C(1，0，0),A1(0，0，1),B1(1,1,1)?A1C?(1,0,?1).
（1,0,0）. 由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量n1?A1C?(1,0,?1),OB1?(1,1,1),OC?设
平
面
OCB1的法向量为
A1D1B1C1n2,则n2?OB1?0,n2?OC?0， 解得其中一个法向量为n2?(0,1,-1).cos??|cos?n1,n1?|?|n1?n2||n1|?|n2|?12?2?A1. 2DOCB所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角?为
10．（
2013
? 3P?ABC年高考江西卷（理））如图,四棱锥
中,
PA?平面ABCD,E为BD的中点,
G为PD的中点，?DAB??DCB,EA?EB?AB?1，PA?(1) 求证:AD?平面CFG;
3,连接CE并延长交AD于F. 2(2) 求平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值.
解:(1)在?ABD中,因为E是BD的中点,所以EA?EB?ED?AB?1,
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