2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.

?1?cosx,?(1) 若函数f(x)??ax?b,?(A) ab?x?0x?0 在x?0处连续，则( )

11 (B) ab?? (C) ab?0 (D) ab?2 22(2) 二元函数z?xy(3?x?y)的极值点是( )

(A)（0，0） (B) （0，3） (C) （3，0） (D) （1，1） (3) 设函数f(x)可导，且f(x)f?(x)?0，则( )

(A)f(1)?f(?1) (B) f(1)?f(?1) (C) f(1)?f(?1) (D) f(1)?f(?1)

(4)若续数

1??1sin?kln(1?)?收敛，则k=( ) ??nn?n?2??(A)1 (B) 2 (C) -1 (D) -2

(5) 设?为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

(A) E???不可逆 (B) E???不可逆 (C) E?2??不可逆 (D) E?2??不可逆

?????200??210??100???????(6)已知矩阵A?021,B?020,C?020,则( )

???????001??001??002???????(A) A与C相似,B与C相似 (B) A与C相似,B与C不相似

(C) A与C不相似,B与C相似 (D) A与C不相似,B与C不相似

(7)设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则AUB与C相互独立的充分必要条件是 （ ） (A)A与B相互独立 （B）A与B互不相容 （C）AB与C相互独立 （D）AB与C互不相容

1n(8)设X1,X2,...Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记x??xi则下列结论正确的

ni?1是 （ ）

(A)

?(x??)ii?1nin2222服从x分布 (B) 2(xn?x1)服从x分布

(C)

?(x?X)i?132222服从x分布 (D) n(X??)服从x分布

二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分. (9)

??(sin??x??2?x2)dx?________.

t(10)差分方程yt?1?2yt?2通解为yt=

(11) 设生产某产品的平均成本C(q)?1?e，其中产量为q，则边际成本为

yydf(x,y)?yedx?x(1?y)edy，f(0,0)?0，则f(x,y)(12)设函数具有一阶连续偏导数，且

?qf(x,y)=

?101????2、?3为线性无关的3维列向量组。(13)设矩阵A??112?,?1、则向量组A?1、A?2、A?3?011???的秩为

(14)设随机变量X的概率分布为P?X??2??1，P?X?1??a，P?X?3??b，若EX?0,2则DX=

三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)

求lim+x?0?x0x?tetdtx3 (16)(本题满分10分)

y3计算积分??dxdy，其中D是第一象限中以曲线y?x与x轴为边界的无界242(1?x?y)D区域.

(17)(本题满分10分)

求limkkln(1?) ?2n??n?k?1n(18)(本题满分10分)

已知方程

11??k在区间（0,1）内有实根，确定常数k的取值范围.

ln(1?x)x(19)(本题满分10分)

?1n设a0?1，a1?0，an?1?，S(x)为幂级数?anx的和函数 (nan?an?1)(n?1、、23???）n?1n?0?(I)证幂

?axnn?0n的收敛半径不小于1.

(II)证(1?X)S?(x)?xS(x)?0?x?(?1,1)?，并求S(x)表达式. (20)(本题满分11分)

设3阶矩阵A???1,?2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2. (I)证明r(A)?2；

(II)若???1??2??3，求方程组Ax??的通解. (21)(本题满分11分)

设二次型f?x1,x2,x3??2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换x?Qy下的标

22222准形为?1y1??2y2，求a的值及一个正交矩阵Q.

(22)(本题满分11 分)

设随机变来那个为X，Y相互独立，且X的概率分布为P?X?0??P?X?2??1,Y的概2?2y,0?y?1率密度为f?y???

0,其他?(I)求P(Y?EY);

(II)求Z?X?Y的概率密度.

(23)(本题满分11 分)

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果X1,X2,...,Xn相互独立且均服从正态分布N??,??.该工程师记录的是

2n次测量的绝对误差Zi?Xi???i?1,2,Ln?，利用Z1,Z2,LZn估计?.

(I)求Z1的概率密度；

(II)利用一阶矩求?的矩估计量；

(III)求?的最大似然估计量.