中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型 模型1：角的8字模型

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC． 结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

ADOBC

模型分析 证法一：

∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． 证法二：

∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．

模型实例

观察下列图形，计算角度：

（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；

AEBFC图①DECAABAEB1O2CDDBCF12GED图④

图图③

解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E

＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．

解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．

1

∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．

（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．

ABCE图②DAO123PE图⑤BAOBFFQCDF12图⑥EDC

（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③

由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．

解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F

＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：

1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；

ABOEBCCD图①图DAOE

解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

2

（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝ ．

ABCD图②OE

解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，

又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E

＝180° 解法二：

2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝ ．

EFDGCHAB

解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，

∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°

解法二：

3

模型2：角的飞镖模型

如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．

AAAD312DBCBD4CB12图②

34图①C

模型分析

解法一：如图①，作射线AD．

∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2

∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C

解法二：如图②，连接BC．

∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.

（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例

如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．

ADBMA1B342CDMC4

解答：利用角的飞镖模型

如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM， ∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4 ∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）

?BAD?BCD，?2?， 22360????B??ADC??BAD?BCD∴?AMC?∴?AMC???ADC（四边形???ADC，

222360???B??ADC内角和360°），∴?AMC?，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.

2∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴?1?

练习：

1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .

AE115°CBDF

【答案】230°

提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115o.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115o.

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115o+115o=230o 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .

D105°CD2105°143C115°115°ABAB

【答案】220°

提示：如图所示，连接BD.

∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，

∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220o

模型3 边的“8”字模型

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