专题16 圆周运动中的临界问题
【专题概述】
物理中经常会出现一些词语，“物体恰好运动到最高点”；“恰好过最高点”“绳子刚好不拉断”等等这些词语，则表明有临界状况出现。水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题. 1. 与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2. 与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 【典例精讲】
一、水平方向上的临界问题：
水平面内的很多圆周运动都存在临界状态，解答此类问题的关键是发现临界状态，找到临界条件。例如“刚好不发生相对滑动”的临界条件是静摩擦力等于最大静摩擦力、“刚好不离开”的临界条件是接触面间正压力等于零。
下面是火车拐弯问题分析。
在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。 设车轨间距为l，两轨高度差为h，车转弯半径为r，质量为M的火车运行时应当有多大的速度?
据三角形边角关系知sin θ=?，对火车的受力情况分析得tan θ=。因为θ角很小，所以sin θ≈tan
θ，故?=，所以向心力F合=?Mg。又因为F合=M，所以车速v=。
由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如:
（1）火车在弯道处的速度大于时，重力和支持力的合力不足以充当火车做圆周运动需要的向心力，火车要挤压外侧车轨，外侧车轨受挤压发生形变产生弹力，补充不足的向心力。
（2）火车在弯道处的速度小于时，重力和支持力的合力大于火车做圆周运动需要的向心力，火车就要挤压内侧车轨，内侧车轨受挤压发生形变产生弹力，抵消一部分重力和支持力的合力。
典例1： 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的是（ ） A．速率v一定时，r越小，要求h越大 B．速率v一定时，r越大，要求h越大 C．半径r一定时，v越小，要求h越大 D．半径r一定时，v越大，要求h越大 【答案】AD
二、竖直圆周运动的临界问题
在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一类是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”。
物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并常伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下: 1．车过拱桥问题分析
如图所示为汽车过拱桥的三种情境的比较分析:质量为m的汽车在拱桥上以速率v前进，桥面的圆弧半径为r，FN为桥面对汽车的支持力，其大小等于汽车对桥面的压力。
甲为凸形桥面，乙为凹形桥面，丙为水平桥面。
对甲分析，因为汽车对桥面的压力FN'=mg- m，所以有： （1）当v=（2）当0≤v<（3）当v>时，汽车对桥面的压力FN'=0； 时，0 时，汽车将脱离桥面、发生危险。 对乙分析，当汽车过凹形桥面最低点时，汽车的支持力和重力的合力提供向心力。则有FN-mg=m?， FN=mg+m，支持力一定大于重力mg。 对丙分析，汽车在水平桥面上匀速行驶，FN=mg。 2．线球模型与杆球模型 （1）过最高点的临界条件由mg=m得v临=； （2）过最高点时，v≥（3）不能过最高点，v<，FN+mg=m，绳、轨道对球产生弹力FN； ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 （1）当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； （2）当0 （4）当v>时，FN+mg=m，FN指向圆心并随v的增大而增大。 典例2： 如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、 B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动， 若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小（ ） A m B A．3mg B．【答案】A 43mg C．3mg D．23mg 3 典例3： 如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为 2 3 。设最大静摩擦力2 等于滑动摩擦力)，盘面与水平面间的夹角为30°，g取10 m/s。则ω的最大值是 ( ) A．5 rad/s B．3 rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
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