(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第十三章立体几何13.4空间几何体的表面积与体积讲义

2.(2017南京高三三模,10)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为 .

答案

方法3 解答空间几何体中最值问题的方法

3.如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,EB=.

(1)求证:DE⊥平面ACD;

(2)设AC=x,V(x)表示三棱锥B-ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值. 解析 (1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形, ∴BC∥DE.

∵DC⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴DC⊥BC.

∵AB是圆O的直径,△ABC内接于圆O,∴BC⊥AC, ∵DC∩AC=C, ∴BC⊥平面ACD.

∵DE∥BC,∴DE⊥平面ACD.

(2)∵四边形DCBE为平行四边形, ∴BE∥CD.

∵DC⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABC中,∵AC=x,AB=2,∴BC=∴S△ABC=AC·BC=x·∴V(x)=VE-ABC=x·

, (0

(0

∵x(4-x)≤

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=4,当且仅当x=4-x,即x=时,取等号,

22

∴当x=时,V(x)取得最大值,最大值为.

4.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE上. (1)求证:CO⊥平面ABED;

(2)设∠CEO=θ,θ为何值时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?

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解析 (1)证明:在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,故AB=DE,又AB∥DE,所以四边形ABED是平行四边形,所以AD∥BE,又因为AB∥CD,AD⊥AB,所以BE⊥CD.

在四棱锥C-ABED中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,所以BE⊥平面CDE. 因为CO?平面CDE,所以BE⊥CO.

又CO⊥DE,且BE∩DE=E,故CO⊥平面ABED.

(2)由题意知θ∈.由(1)知CO⊥平面ABED,则三棱锥C-AOE的体积V=S△AOE·OC=··OE·AD·OC.

在直角梯形ABCD中,CD=2AB=4,AD=,CE=2,故在三棱锥C-OAE中,OE=CEcos θ=2cos θ,OC=CEsin θ=2sin θ,所以V=sin 2θ≤,当且仅当sin 2θ=1,即θ=时取等号,此时OE=

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