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求数列通项公式的11种方法方法
总述:一.利用递推关系式求数列通项的11种方法:
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法(少用) 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三.求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:an?1?an?f(n)----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2.若an?1?an?f(n)(n?2), a2?a1?f(1)则
a3?a2?f(2) an?1?an?f(n)
两边分别相加得an?1?a1??f(n)
k?1n例1已知数列{an}满足an?1?an?2n?1,a1?1,求数列{an}的通项公式。
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解:由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
所以数列{an}的通项公式为an?n2。
例2已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1,a1?3,求数列{an}的通项公式。 解法一:由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3n?n?1. ?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3 ?32?31)?(n?1)?3解法二:an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1,得则an?1an21???,故 3n?13n33n?1an?1an21???, n?1nn?133331(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n, ???1???331?3322?3n211则an??n?3n??3n?. 322练习n2?n?1
a1.已知数列?n?的首项为1,且an?1?an?2n(n?N*)a写出数列?n?的通项公式.答案:
练习2.已知数列
{an}满足a1?3,
an?an?1?1(n?2)n(n?1),求此数列的通项公式.答案:裂项
求和
an?2?1n
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a评注:已知a1?a,n?1数函数、分式函数,求通项
?an?f(n).
,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指
an①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
Sn?1n(an?)2an例3.已知数列{an}中,an?0且Sn?,求数列{an}的通项公式. Sn?解:由已知1n(an?)2an得1n(Sn?Sn?1?)2Sn?Sn?1, 222Sn?S12?2?3???nS?S?nnn?1化简有,由类型(1)有, n(n?1)2Sn?2又S1?a1得a1?1,所以,又2n(n?1)?2n(n?1)2 an?0sn?2n(n?1)2,, 则
an?此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法 1.适用于:an?1?f(n)an----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2.若
an?1aa?f(n),则2?f(1),3?f(2),ana1a2a,n?1?f(n) annan?1两边分别相乘得,?a1??f(k)
a1k?1例4已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an,a1?3,求数列{an}的通项公式。
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解:因为an?1?2(n?1)5n?an,a1?3,所以an?0,则
an?1?2(n?1)5n,故ananan?1an???an?1an?2?2n?1[n(n?1)??3?2n?1?5a3a2???a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!n(n?1)2?3
n?1a?3?2?5所以数列{a}的通项公式为nnn(n?1)2?n!. 22??n?1a?na??an?1n?an?1an?0(n=1,2,3,…)例5.设n是首项为1的正项数列,且,则
它的通项公式是an=________. 解:已知等式可化为:(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0 *?an?0(n?N)?(n+1)an?1?nanan?1n?an?1 ?0,即nann?1?n ?n?2时,an?1?anan?1an?anan?1a????2?a1an?1an?2a1ann?1n?21????1=nn?12=1n. 评注:本题是关于与
和
an?1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到
an的更为明显的关系式,从而求出
an?1?nan?n?1,a1??1.
练习.已知答案:
,求数列{an}的通项公式.
an?(n?1)!?(a1?1)-1.
评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式精心整理
an?1?nan?n?1,转化为
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