在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α， ∵EC平分∠ACB，
∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α， ∵∠BCF=45°+α，
∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°， ∴∠BEC+∠ECF=180°， ∴BB′∥CF， ∴∵
==
=，
=sin（45°﹣α），
∴
=sin（45°﹣α）．
12．（2018?张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）． （1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值； （2）求证：△PAN∽△PMB．
上
解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，
∵OM=AB=×4=2，
∴S△ABM=AB?OM=×4×2=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P， ∴△PAN∽△PMB．
13．（2018?常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB； （3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC?AC． 解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O， ∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°， ∴∠OND+∠ODN=90°， ∵∠ANH=∠OND， ∴∠ANH+∠ODN=90°， ∵DH⊥AE， ∴∠DHM=90°， ∴∠ANH+∠OAM=90°， ∴∠ODN=∠OAM， ∴△DON≌△AOM， ∴OM=ON； （2）连接MN， ∵EN∥BD，
∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD， ∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON， ∵OD=OD，
∴DM=CN=EN， ∵EN∥DM，
∴四边形DENM是平行四边形， ∵DN⊥AE， ∴?DENM是菱形， ∴DE=EN， ∴∠EDN=∠END， ∵EN∥BD， ∴∠END=∠BDN， ∴∠EDN=∠BDN， ∵∠BDC=45°， ∴∠BDN=22.5°， ∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°， ∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB， ∴BM=AB；
（3）设CE=a（a＞0） ∵EN⊥CD， ∴∠CEN=90°， ∵∠ACD=45°， ∴∠CNE=45°=∠ACD， ∴EN=CE=a， ∴CN=
a，
设DE=b（b＞0）， ∴AD=CD=DE+CE=a+b， 根据勾股定理得，AC=
AD=
（a+b），
同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN， ∵∠OAD=∠ODC=45°，
∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°， ∴△DEN∽△ADE，
∴∴∴a=∴CN=
， ，
b（已舍去不符合题意的） a=
b，AC=b，
b?
b=2b2
（a+b）=
b，
∴AN=AC﹣CN=
∴AN2=2b2，AC?CN=∴AN2=AC?CN．
14．（2018?郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
解：（1）如图， ∵∠AEC=30°， ∴∠ABC=30°， ∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°， 连接OA，∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC=30°，
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