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浙江专用2020高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第1讲三角函数的图象与性质教

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第1讲 三角函数的图象与性质

三角函数的定义、诱导公式及基本关系

[核心提炼]

1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

2.同角关系:sinα+cosα=1,3.诱导公式:在

2

2

yxsin α=tan α.

cos αkπ

2

+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.

[典型例题]

(1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1,0)出发,沿单位圆x+y=1逆时针方

向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标是( )

3

3??1

A.?-,? ?22?3??1

C.?-,-?

2??2

B.?

22

?31?

,? ?22???

31?,? 22?

D.?-?π?(2)(2019·长春一模)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos?+β?+5=0,tan(π?2?

+α)+6sin(π+β)=1,则sin β的值为________.

(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,4??3

它的终边过点P?-,-?.

5??5

①求sin(α+π)的值;

5

②若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.

13

【解】 (1)选A.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以

32π

∠QOx=,

3

2π2π??所以Q?cos ,sin ?, 33??3??1

即Q点的坐标为?-,?.故选A.

?22?

?π?(2)2tan(π-α)-3cos?+β?+5=0化简为-2tan α+3sin β+5=0,tan(π+α)?2?

11

+6sin(π+β)=1化简为tan α-6sin β=1,因而sin β=.故填.

33

4?4?3

(3)①由角α的终边过点P?-,-?得sin α=-,

5?5?54

所以sin(α+π)=-sin α=.

5

4?3?3

②由角α的终边过点P?-,-?得cos α=-,

5?5?5512

由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.

1313

由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 5616

所以cos β=-或cos β=.

6565

应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.

(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

[对点训练]

1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则

?π?cos?+α?sin(-π-α)

?2?

的值为________.

11π9π????-α?sin?+α?cos??2??2?

-sin α·sin α解析:原式==tan α.

-sin α·cos αy3

根据三角函数的定义,得tan α==-,

x4

3

所以原式=-.

43

答案:-

4

π?3π???2.已知θ是第四象限角,且sin?θ+?=,则tan?θ-? 4?54???=________.

π?3π????π

解析:法一:因为sin ?θ+?=,所以cos?θ-?=sin?+

4?54????2π?3?sin?θ+?=,因为θ为第四象限角,

4?5?

?θ-π??=

???4???

π3πππ

所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<θ-<2kπ-,k∈Z,所以

2444π??sin?θ-?=-4??

4?3?1-??=-,

5?5?

2

π??sin?θ-?4?π?4??所以tan?θ-?==-.

4?π?3??cos?θ-?4??

π?3π?法二:因为θ是第四象限角,且sin?θ+?=,所以θ+为第一象限角,所以

4?54?π??π?π????θ+π?θ-θ-+-cos?sin???cos???4??4?4?π?4π?????2???cos?θ+?=,所以tan?θ-?===-=

4?54?π?π??π???π????cos?θ-?sin?+?θ-??sin?θ+?4?4??4????2?4

-. 3

4

答案:-

3

三角函数的图象及应用

[核心提炼]

函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图

π3π

设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线

22可得.

(2)图象变换

y=sin x向左(φ>0)或向右(φ<0)

――――――――――――――→y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位

1

横坐标变为原来的(ω>0)倍

ω―――――――――――――→y=sin(ωx+φ)

纵坐标不变

纵坐标变为原来的A(A>0)倍――――――――――――――――――→y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变

[典型例题]

(1)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )

π??A.y=2sin?2x-? 6??

π??B.y=2sin?2x-?

3??

?π?C.y=2sin?x+?

6???π?D.y=2sin?x+?

3??

π

个单位8

(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )

A.

3πππ B. C.0 D.- 444

??2sin x,x∈[0,π](3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)=?,若函数g(x)

?|cos x|,x∈(π,2π]?

=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围是( )

A.(0,1) B.[1,2] C.(0,1] D.(1,2)

Tπ?π?2π

【解析】 (1)由题图易知A=2,因为周期T满足=-?-?,所以T=π,ω==

23?6?Tππππ

2.由x=时,y=2可知2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),结合

3326π??选项可知函数解析式为y=2sin?2x-?.

6??

(2)令y=f(x)=sin(2x+φ),

π?π???π????则f?x+?=sin?2?x+?+φ?=sin?2x++φ?,

8?8?4??????

?π?因为f?x+?为偶函数, 8??

ππ

所以+φ=kπ+,

42π

所以φ=kπ+,k∈Z,

所以当k=0时,φ=.

4

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