第1讲 三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[核心提炼]
1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.同角关系:sinα+cosα=1,3.诱导公式:在
2
2
yxsin α=tan α.
cos αkπ
2
+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
[典型例题]
(1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1,0)出发,沿单位圆x+y=1逆时针方
2π
向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标是( )
3
3??1
A.?-,? ?22?3??1
C.?-,-?
2??2
B.?
22
?31?
,? ?22???
31?,? 22?
D.?-?π?(2)(2019·长春一模)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos?+β?+5=0,tan(π?2?
+α)+6sin(π+β)=1,则sin β的值为________.
(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,4??3
它的终边过点P?-,-?.
5??5
①求sin(α+π)的值;
5
②若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
13
2π
【解】 (1)选A.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以
32π
∠QOx=,
3
2π2π??所以Q?cos ,sin ?, 33??3??1
即Q点的坐标为?-,?.故选A.
?22?
?π?(2)2tan(π-α)-3cos?+β?+5=0化简为-2tan α+3sin β+5=0,tan(π+α)?2?
11
+6sin(π+β)=1化简为tan α-6sin β=1,因而sin β=.故填.
33
4?4?3
(3)①由角α的终边过点P?-,-?得sin α=-,
5?5?54
所以sin(α+π)=-sin α=.
5
4?3?3
②由角α的终边过点P?-,-?得cos α=-,
5?5?5512
由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.
1313
由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 5616
所以cos β=-或cos β=.
6565
应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
[对点训练]
1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则
?π?cos?+α?sin(-π-α)
?2?
的值为________.
11π9π????-α?sin?+α?cos??2??2?
-sin α·sin α解析:原式==tan α.
-sin α·cos αy3
根据三角函数的定义,得tan α==-,
x4
3
所以原式=-.
43
答案:-
4
π?3π???2.已知θ是第四象限角,且sin?θ+?=,则tan?θ-? 4?54???=________.
π?3π????π
解析:法一:因为sin ?θ+?=,所以cos?θ-?=sin?+
4?54????2π?3?sin?θ+?=,因为θ为第四象限角,
4?5?
?θ-π??=
???4???
π3πππ
所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<θ-<2kπ-,k∈Z,所以
2444π??sin?θ-?=-4??
4?3?1-??=-,
5?5?
2
π??sin?θ-?4?π?4??所以tan?θ-?==-.
4?π?3??cos?θ-?4??
π?3π?法二:因为θ是第四象限角,且sin?θ+?=,所以θ+为第一象限角,所以
4?54?π??π?π????θ+π?θ-θ-+-cos?sin???cos???4??4?4?π?4π?????2???cos?θ+?=,所以tan?θ-?===-=
4?54?π?π??π???π????cos?θ-?sin?+?θ-??sin?θ+?4?4??4????2?4
-. 3
4
答案:-
3
三角函数的图象及应用
[核心提炼]
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图
π3π
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线
22可得.
(2)图象变换
y=sin x向左(φ>0)或向右(φ<0)
――――――――――――――→y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位
1
横坐标变为原来的(ω>0)倍
ω―――――――――――――→y=sin(ωx+φ)
纵坐标不变
纵坐标变为原来的A(A>0)倍――――――――――――――――――→y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变
[典型例题]
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
π??A.y=2sin?2x-? 6??
π??B.y=2sin?2x-?
3??
?π?C.y=2sin?x+?
6???π?D.y=2sin?x+?
3??
π
个单位8
(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )
A.
3πππ B. C.0 D.- 444
??2sin x,x∈[0,π](3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)=?,若函数g(x)
?|cos x|,x∈(π,2π]?
=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.[1,2] C.(0,1] D.(1,2)
Tπ?π?2π
【解析】 (1)由题图易知A=2,因为周期T满足=-?-?,所以T=π,ω==
23?6?Tππππ
2.由x=时,y=2可知2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),结合
3326π??选项可知函数解析式为y=2sin?2x-?.
6??
(2)令y=f(x)=sin(2x+φ),
π?π???π????则f?x+?=sin?2?x+?+φ?=sin?2x++φ?,
8?8?4??????
?π?因为f?x+?为偶函数, 8??
ππ
所以+φ=kπ+,
42π
所以φ=kπ+,k∈Z,
4π
所以当k=0时,φ=.
4
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