?π?1
即cos x＋3sin x＜1，即cos?x－?＜，
3?2?
ππ2π
因为0≤x≤π，所以－≤x－≤，
333则
ππ2π2π
＜x－≤，即＜x≤π. 3333
若－π≤x＜0，
则由f(x)＞f(－x)得cos x－3sin x－1＞ －cos x＋3sin x＋1，
?π?1即cos x－3sin x＞1，即cos?x＋?＞，
3?2?
2πππ
因为－π≤x＜0，所以－≤x＋＜，
333πππ2π
则－＜x＋＜，即－＜x＜0，
3333
?2π??2π?综上不等式的解集为?－，0?∪?，π?.
?3??3??2π??2π?答案：0 ?－，0?∪?，π?
?3??3?
π??15．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|≤?的最
2??π
小正周期为π，且x＝为f(x)图象的一条对称轴．
12
(1)求ω和φ的值；
?π?(2)设函数g(x)＝f(x)＋f?x－?，求g(x)的单调递减区间．
6??
π??解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|≤?的最小正周期为π，
2??2π
由T＝＝π，所以ω＝2，
ωπ
由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
2所以f(x)的图象的对称轴为x＝由
kππφ2
＋－，k∈Z. 42
πkππφπππ
＝＋－，得φ＝kπ＋.又|φ|≤，则φ＝. 12242323
π??π??(2)函数g(x)＝f(x)＋f?x－?＝sin?2x＋?＋sin 2x＝
6?3???
π?13?sin 2x＋cos 2x＋sin 2x＝3sin?2x＋?. 6?22?π2π??所以g(x)的单调递减区间为?kπ＋，kπ＋?，k∈Z.
63??
π??16．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(x∈R，ω＞0)
3??的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|＝13.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，2]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的最大值．
解：(1)过P作x轴的垂线PM，过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|＝2，|PQ|＝13，由勾股定理得|QM|＝3，所以T＝6，
2ππ
又T＝，所以ω＝，
ω3
?ππ?所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin?x＋?.
3??3
(2)将函数y＝f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象， π
所以g(x)＝sinx.
3函数h(x)＝f(x)·g(x)＝sin?
?πx＋π?sin πx
?3?3?3
13ππ2π
＝sinx＋sinxcos x 232332π?1?32π＝?1－cosx?＋sin x
3?44?31?2ππ?1x－?＋. ＝sin?6?42?3
2ππ?π7π?当x∈[0，2]时，x－∈?－，?，
6?36?62πππ
所以当x－＝，
3623
即x＝1时，h(x)max＝. 4
17．(2019·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋3sin x)． (1)求f(x)的最小正周期；
π??0，(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间?求实数t的取值范?内有两个不相等的实数解，2??围．
π?1333?解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋，故函数f(x)的最小正周期
3?2222?2π
为T＝＝π.
2
?π?(2)关于x的方程f(x)＝t在区间?0，?内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y2???π??π?所以2x－π∈?－π，2π?.
＝t的图象在区间?0，?内有两个不同的交点．因为x∈?0，?，??2?2?3?3?3??
?ππ??π2π?因为y＝sin x在?－，?上是增函数，在?，?上是减函数，
3??32??2?5π??5ππ?所以f(x)在?0，?上是增函数，在?，?上是减函数．
12???122?
又因为f(0)＝0，f?
?5π?＝1＋3，
?2?12?
f??＝3，
2
所以3≤t＜1＋
33??
，故实数t的取值范围为?3，1＋?. 22??
?π?
??
3π?ππ?18．已知定义在区间?－π，?上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥2?44?时，f(x)＝－sin x.
(1)作出y＝f(x)的图象；
(2)求y＝f(x)的解析式；
(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围．
解：(1)y＝f(x)的图象如图所示．
π??(2)任取x∈?－π，?， 4??则
π?π3π?－x∈?，?， 2?2?4
π
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，
4则f(x)＝f?则f(x)＝f?
?π－x?，又当x≥π时，f(x)＝－sin x，
?4?2??π－x?＝－sin?π－x?＝－cos x， ??2??2???
π??－cos x，x∈?－π，?，??4??
即f(x)＝?
π3π??－sin x，x∈?，?.??2??4
ππ2??
(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；当a∈?－1，－?时，f(x)＝a222??π2
的四根满足x1 42 f(x)＝a的三根满足x1 π 时，f(x)＝a的两根为x1，x2，由对称性得Ma＝. 2 综上，当a∈?－1，－当a＝－ π4π2 3π2?? ；当a∈?－，1?4?2? ? ?2? ?时，Ma＝π； 2? 23π时，Ma＝； 24 π2? ，1?∪{－1}时，Ma＝. 22? 当a∈?－ ? ?
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