⑤ab?a?b(a?0,b?0)
知识点8 二次根式的运算 (1)二次根式的加减
二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并. (2)二次根式的乘法
二次根式相乘,等于各个因式的被开方数的积的算术平方根,即
a?b?ab(a?0,b?0).
二次根式的和相乘,可参照多项式的乘法进行.
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个二次根式互为有理化因式. (3)二次根式的除法
二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去,叫做分母有理化.
例题精讲
例1. 如果单项式axym3n?1
与?5x2?my5的和①为0时,a、m、n各为多少? ②仍为一
个单项式,a、m、n各为多少?
?a?5?a?5?m?2?m?m?1??解:①?m?2?m ?m?1 ②? ?
3n?1?5n?2???3n?1?5?n?2??a为有理数
例2. 因式分解:(1)4mx?9my (2)(a?b)?2(a?b)?1 (3)-2x+5xy
2
222+2y
解:①原式=m(2x+3y)(2x-3y)
2?(a?b?1)②原式
③令?2x2?5xy?2y2?0 ∴x?2
?5y?25y2?16y2?4 ∴x?5?41y 45?415?41y)y) (x-4422例3. (1)已知(3a?2a?1)(a?k)的结果中不含a项,求k的值;
原式=-2(x-
(2)a?a?a?k的一个因式是a?1,求k的值; 解:(1)a的系数为:3k-2=0 ∴k=
3
2
2
322 3(2)当a=-1时(-1)-(-1)+(-1)+k=0 ∴k=3
2481632
例4. 利用简便方法计算:(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)的值, 你能确定积的个位数是几吗?
2481632
解:(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) 6464
=2-1 ∵2的个位数为6 ∴积的个位数字为5 例5. x为何值时,下列分式的值为0?无意义?
(1)
x?2x?2 (2)
x2?3x?2x2?x?2
解:当①x=2 ②x=1 时为零 当③x=-2 ④x=2,x=-1时分式无意义 例6. 分式的约分与通分
0.8x2ny2n?15b4a3c1. 约分: 2. 通分,, 2221.4x2n?1y2n?15bc10ab?2ac8ac3bc?25ab4x解:①原式=2 ②,, 22222222210abc10abC10abc7yx?3x2?2x?31?2?例7. 先化简后再求值:2,其中x?2?1 x?1x?2x?1x?1333(x?1)2x?31原式=×+
(x?1)(x?1)(x?1)(x?3)x?1112x =+=2
x?1x?1x?1当x=2+1时,原式=1
1例8. 若最简二次根式?1?a与34a2?2是同类二次根式,求a的值。
232
解:1+a=4a-2=0, a1=1 , a2=-
4a2?2a?1a?110?1?()?()值 例9. 已知:a=,求22aa?a1?2a?a2?31解:∵a= ∴a=2-3<1
2?3|a?1|(a?1)21?a11?原式=+1 =-(a-1)+1 =?-a+1+1=?-a
a(a?1)a?1a(a?1)aa1+2
当a=
11时,a=2-3, ?2?3
a2?3∴原式=-2-3-2+3+2=-2 例10. 把根号外的因式移到根号内: (1)a1?111; (2)(x?1); (3)x?; (4)(2?x) ax?1xx?2解:(1)原式=a (2)原式=?1?x (3)原式=??x (4)原式=?例11. 观察下列各式及其验证过程
x?2
2223(23?2)?2?2?。验证:2??23332?12(22?1)?22 ?2?232?1(33?3)?33(32?1)?3333333????3??3?。验证:33 8888832?132?1根据上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4
4的变形结果并进行验证。 15针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明。
44343?4?44(42?1)?44解:(1)4 ????4?1515151542?1n?(2)nn2?1
n3?n2?1n3?n?n?n2?1n(n2?1)?nn?n?
n2?1n2?1课后练习
一. 选择题
1. 下列运算正确的是( )
326m
A. 2x?3x?6x B. 3a?4a?12am C. ?2a?(?3a)?6a34 D.
(?b)2?(?2b)3?2b5
2. 把a-a-6分解因式,正确的是( ) A. a(a-1)-6 B. (a-2)(a+3) C. (a+2)(a-3) D. (a-1)(a+6) 3. 设(x+y)(x+2+y)-15=0,则x+y的值是( )
A. -5或3 B. -3或5 C. 3 D. 5
2
4. 不论a为何值,代数式-a+4a-5的值( )
A. 大于或等于0 B. 0 C. 大于0 D. 小于0
2
a?2的结果是( ) a2A. ?a?2 B. ??a?2 C. a?2 ?a?2
5. 化简二次根式a? D.
6. 下列命题:(1)任何数的平方根都有两个(2)如果一个数有立方根,那么它一定有平方根(3)算术平方根一定是正数(4)非负数的立方根不一定是非负数,错误的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2
7. 当1 A. -1 B. 2x-1 C. 1 D. 3-2x 二. 填空题 2 8. 矩形的面积为6x+13x+5(x>0),其中一边长为2x+1,则另一边为 。 9. 对于分式 2 x?y,如果x、y都扩大为原来的3倍,则分式的值 2x10. 若x+kx-6有一个因式是(x-2),则k的值是 ; 11. (?2)2的平方根是 ,9的算术平方根是 , 是-64的立方根。 12. 2?3的倒数是 ;2?3的绝对值是 。8的有理化因式是 ,x?y的有理化因式是 。 三. 计算与解答题 13. 三角形某一边等于2a?b,第二边比第一边小( 1b?2),而第三边比第一边大2( 1,这个三角形周长为多少? b?2) 2 222 14. a、b、c为⊿ABC三边,利用因式分解说明b-a+2ac-c的符号 15. 实数范围内因式分解 2222 (1)x-2x-4 (2)4x+8x-1 (3)2x+4xy+y 2 x+3xy22 16. 已知 x-5xy+6y=0 求2 的值 2y 2 17. 试求函数t=2--3x+12x-9 的最大值和最小值。 练习答案 一. 选择题。 1~5 CCADB 6~7DC 二. 填空题。 8. 3x+5 9. 是原来的10. 1 11. ? 试题答案 1 32, 3,-4 12. ??2?3 3?2 2 x?y 三. 解答题 13. 2a+b-( 1113b?2)=2a+b?2 2a+b+(b?2)=2a+b?2 222213(2a+b)+(2a+b-2)+(2a+b?2)=6a+3b-4 222 2 14. 原式=b-(a-c)=(b+a-c)(b-a+c)>0 15. (1)原式=(x-1-5)(x-1+5) ?2?2?2?2y)y) (x-22?2?5?2?5(2)原式=4(x-)(x-) 22(3)原式=2(x- 16. 解:(x-2y)(x-3y)=0 ∴x=2y或x=3y x2?3xy4y2?6y2当x=2y时,??5 222y2yx2?3xy9y2?9y2当x=3y时,??9 222y2y17. 解:t=2??3(x?2)2?3 ∵ 0≤-3(x-2)+3≤3 ∴t最大值=2,t最小值=2?3 2 不等式和不等式组 教学准备 一. 教学内容: 复习三 不等式和不等式组 二. 教学目标: 1. 理解不等式,不等式的解等概念,会在数轴上表示不等式的解; 2. 理解不等式的基本性质,会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形,会解一元一次不等式; 3. 理解一元一次不等式组和它的解的概念,会解一元一次不等式组; 4. 能应用一元一次不等式(组)的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。 三. 教学重点与难点: 1. 能熟练地解一元一次不等式(组)。2. 会利用不等式的相关知识解决实际问题 四.知识要点: 知识点1、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 知识点2、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 知识点3、不等式的解集在数轴上的表示: (1)x>a:数轴上表示a的点画成空心圆圈,表示a的点的右边部分来表示; (2)x<a:数轴上表示a的点画成空心圆圈,表示a的点的左边部分来表示; (3)x≥a:数轴上表示a的点画成实心圆点,表示a的点及表示a的点的右边部分来表示; (4)x≤a:数轴上表示a的点画成实心圆点,表示a的点及表示a的点的左边部分来表示。 在数轴上表示大于3的数的点应该是数3所对应点的右边。画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈)。如图所示: 同样,如果某个不等式的解集为x≤-2, 那么它表示x取-2左边的点 画实心圆点。如图所示: 总结:在数轴上表示不等式解集的要点: 小于向左画,大于向右画;无等号画空心圆圈,有等号画圆点。 知识点4、不等式的性质: (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;
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