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法拉第电磁感应定律
-10-1如图10-1所示，一半径a＝0.10m，电阻R＝1.0×103Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与
回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 求：（1）t＝2s时回路的感应电动势和感应电流；
?nπ/3 （2）最初2s内通过回路截面的电量。
a ??解：（1）??B?S?BScos?
?3.2?10?5??2?10?2A t?2s，?i??3.2?10V，I???3R1.0?10?5?图10-1 负号表示?i方向与确定n的回路方向相反
1128?10?4?3.14?0.12?2?4.4?10C （2）qi?(?1??2)?[B(0)?B(2)]?S?cos???3RR1?10?210-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I，小的回路在大
的回路上面距离x处，x>>R，即I在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若
dx?v等速dt率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x之间的关系；（2）当x＝NR（N为一正数），求小回路内的感应电动势大小；（3）若v＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I在轴线上x处的磁感应强度大小
r B??0IR22(R2?x2)32，方向竖直向上。
x ，??B?S?BS?B??r?2x??R时，B??0IR22x3?0IR2?r22x3
I R 图10-2
3?0?Ir2d?322?4dx??0IR?rxv （2）?i??，x?NR时，?i?dt2dt2R2N4（3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I相同。
动生电动势
?10-3 一半径为R的半圆形导线置于磁感应强度为B的均匀磁场中，该导线以
速度v沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用（1）法拉第电磁感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高？ 解：（1）假想半圆导线在宽为2R的U型导轨上滑动，设顺时针方向为回路方向，
在x处
O R d?m1dx2??(2Rx??R)B?????2RB??2RBv ，?m2dtdt由于静止U型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为
???2RBv 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。
（2）任取线元dl，d??(v?B)?dl?vBsin90??cos?dl?vBcos??Rd?
图10-3 如文档对你有用，请下载支持！
????d??vBR?cos?d??2vRB，由(v?B)指向知，上端电势高
?2?210-4长为L的铜棒NM，以角速度 ? 绕支点O在水平面上转动，支点距棒的一端点N的距离为r，设均匀磁场B垂直向下，如图10-4所示。求棒两端的电势差。 解：在棒上距O点l处取线元dl，方向N?M，则
负号表示电动势方向为M?N，UNM???NM?1??BL(L?2R) 2N ? r O L-r 图10-4 M 10-5两平行长直导线载有等量反向电流I，金属棒CD与两导线共面且垂直，?相对位置如图10-5所示。CD棒以速度v平行于导线电流运动时，求CD棒中的动生电动势，哪端的电势高？
解：如图建立坐标系，在x处（棒上）取线元dx，方向C?D，该处
I I a C a ?vb D
B??0I?0I?，方向垂直纸面向上。 2?x2?(x?a)?CD?0，?C端电势高。
图10-5
10-6如图10-6所示，质量为m，长为l，电阻为R的金属棒AB放置在一个倾斜的光滑U形框架上，并由
（2）U形框架为导体时（不计电阻），AB棒下滑速度随时间的变化关系，最大速度为多少？ 解：（1）?i?(v?B)?BA?vBsin??l?vBlcos?
在斜面上，mgsin??ma，?a?gsin?
A ?静止下滑，磁场B垂直向上。求：（1）U形框架为绝缘时，AB棒内的动生电动势与时间的函数关系；
v?at?gtsin?，??i?gtsin??Blcos??1Bgltsin2? 2D θ B C 图10-6
（2）此时，在BADC回路中产生感应电流，所以AB还受安培力作用，大小为 B2l2?iFi?BlI?Bl?vcos?，方向水平向右。
RRB2l2cos2?dvdv??v?m 沿斜面 ，mgsin??Ficos??ma?m，即 mgsinRdtdt解得 vm?axmgRsin?(1?e2B2l2cos??B2l2co2s?tmR)，vmax?mgRsin?。
B2l2cos2?感生电动势
10-7一长直导线中通有交变电流I＝5.0sin100πt A，在与其相距d＝5.0cm处放有一矩形线圈，共100匝，
线圈长l＝4.0cm，宽a＝2.0cm，如图10-7所示。求t时刻：（1）线圈中的磁通链数是多少？（2）线圈中的感生电动势是多少？ 解：（1）取矩形线圈的回路方向为顺时针方向，在距长直电流为x处取宽为dx的小面元
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d??B?dS?N（2）?i???0I?ldx， 2?xI
d??4.24?10?4cos100?tV dtl 10-8一半径为R、单位长度上匝数为n的通电长直螺线管，其横截面上的磁场如图10-8所示。若电流的变a d 化率为dI/dt（＞0），求：（1）管内外的感生电场；（2）当电子分别置于a点、O点和b点处时，电子所获得的瞬时加速度大小和方向各为何？
图a 10-7 解：（1）取以轴线为圆心，半径为r的圆，回路方向为逆时针
??r1 ?dBrdBrdI，?Ek???0n，方向逆时针方向。 ?O ??r?R时：Ek?2?r??r2R dt2dt2dtrdIa点：Eka?1?0n，电子受力F??eEka?ma1
2dt?nerdIe ?a1??Eka 大小 a1?01，方向水平向右。
m2mdt O点：Eko?0，?a2?0
??r2 ?b 图10-8
R2dB?0nR2dIdB?，?Ek? r?R时：Ek?2?r??R2rdt2rdtdt2b点：Ekb??0nR2dI2r22?0neRedI，?a3??Ekb，大小 a3?，方向水平相左。
mdt2r2dt10-9在半径为R的细长螺线管内有
dB?0的均匀磁场，一等腰梯形金属框abcd如图10-9放置。已知，dtab＝2R，cd＝R，求：（1）各边产生的感生电动势；（2）线框的总电动势。 解：（1）径向上的电动势为零，即?ad??cd?0
在?Odc中，以dc为底，设h1为高
d32dB??1??cd??1? 方向 d?c Rdt4dtd a ????O ?????图10-9
R c b d?2?R2dB12?在?Oab中，?2??R?B，??2??ab? 方向 a?b dt6dt6（2）线框总电动势 ?i??2??1?(?6?32dB)R 4dt互感
10-10一螺绕环横截面的半径为a，环中心线的半径R，R>>a，其上由表面绝缘导线均匀地密绕两个线圈，
一个为N1匝，另一个为N2匝，求两线圈的互感系数。 解：设线圈1中通有电流I1，则螺绕环中的磁感应强度 B??0n1I1??0N1I1 2?R如文档对你有用，请下载支持！
在线圈2中的全磁通 ?12?N2BS?N2?0N1I1?a2 2?R10-11如图10-11所示，A、C为两同轴的圆线圈，半径分别为R和r，两线圈相距为l，若r很小，可认为
由A线圈在C中所产生的磁感应强度是均匀的，求两线圈的互感系数。若C线圈匝数增加N倍，则互感系数又为多少？ 解：设线圈A中通有电流I，在线圈C的圆心处的磁感应强度 B??0R2I2(R?l)2232 R r A C
l 10-12一长直导线旁，共面放置一长20cm、宽10cm、共100匝的密绕矩形线圈，长直导线与矩形线圈的图10-11
长边平行且与近边相距10cm，如图10-12所示。求两电路的互感系数。 解：在距长直导线r处，取一面元dS?ldr，则 d??BdS??0N?R2r2BS若C线圈匝数增加N倍，则 ?M?N ?2232I2(R?l)?0Ildr 2?r20cm ?0Il0.2dr?0IlN??0Nl????ln2M??ln2?2.77?10?5H ，?2?0.1r2?I2?10cm 10cm 自感 图10-12 -3
10-13在长60cm直径5.0cm的纸筒上绕多少匝导线才能得到自感为6.0×10 亨的线圈？
?0N2?R2N22解：螺线管的自感 L??0nV，?L??02??R?l?
ll2有 N?Ll?1208 （匝） 2?0?R10-14管长l，匝数N的螺线管，管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分
别为?1和?2，如图10-14所示。求该螺线管的自感系数。 解：设通电流I，则两介质中的磁场分别为 B1??1NNI，B2??2I llS2
?2 S1 S2 图10-14
??1?B1S1??1NIlS1，?2?B2S2??2NIl?1 N2I?N2??N(?1??2)?(?1S1??2S2)，?L??(?1S1??2S2)
lIl10-15两根半径均为a的平行长直导线，它们中心相距为d，如图10-15所示。两导线中通以等值、反向的
电流I，求单位长度上的自感系数。（设导线内的磁通量忽略不计） 解：两导线间的磁感应强度 B??0I?0I? 2?r2?(d?r)I I
??d?a?Ild?aBldr?0ln则穿过图中阴影部分的磁通量为 ???B?dS??
Sa?ad 图10-15
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单位长度上的自感系数 L???0ld?a ?lnI?a磁能
10-16 —个螺线管的自感为10 mH，通过线圈的电流为4A，求它所储存的磁能。 解：W?121LI??10?10?3?42?8?10?2J 2210-17设一无限长同轴电缆为圆柱形导体（半径为R1，磁导率为?1）与半径为R2（R2＞R1）的金属圆筒组成，如图10-17所示。在金属圆柱与圆筒间充以磁导率为?2的磁介质，电流I由圆筒流去，由圆柱形导体流回。求单位长度的总磁能。 解：由安培环路定律
?1 ? R2 2
?1Ir?2IR1 r?R1：B1?；R1?r?R2：B2?；r?R2时：B3?0。
2?R122?rI 单位长度总磁能 Wm'?(Wm1?Wm2)?位移电流
10-18试证：平行板电容器中的位移电流可以写为ID?C证：?ID?1lRI?1(??2ln2) 4?4R1dU。 dt2I 图10-17 d?DU，?D?DS，D??0?rE??0?r dtd?ID???SddUddU 得证。 (DS)?(?0?r?S)。又 C?0r，?ID?(CU)?Cddtdtddtdt10-19一平行板电容器的两板面积均为S的圆形金属板，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即
q0＝qmsin? t。（1）试求电容器中的位移电流密度；（2）试证两板之间某点的磁感应强度为
B?qmr??0cos?t，其中r为由圆板中心线到该点的距离。 2Sq0qm?Dqm??sin?t。?jD??cos?t SS?tS解：（1）q0?qmsin?t，对平板电容器 D?????2（2）?H?dl?H?2?r?ID?jD??r
?H?
?q?rjDrqm?r?cos?t，B??0H?0mcos?t 22S2S
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