1.数列的递推公式是研究的项与项之间的关系,而通项公式则是研究的项an与项数n的关系.
2.求数列的通项公式是本节的重点,主要掌握三种方法:(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式,关键是善于观察;
(2)数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系,要注意验证能否统一到一个式子中;
(3)由递推公式求通项公式,常用方法有累加、累乘. 3.本节易错点是利用Sn求an时,忘记讨论n=1的情况.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
2
1.(2010·安徽)设数列{an}的前n项和Sn=n,则a8的值为 ( )
A.15 B.16 C.49 D.64
2n2.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是
3n+1
( )
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于 ( )
9
A.4 B.2 C.1 D.-2
4.(2011·烟台模拟)数列{an}中,若an+1=( )
A.13
B.1 13
C.11
an,a1=1,则a6等于 2an+1
D.1 11
1*
5.数列{an}满足an+an+1= (n∈N),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为
2
( )
7913
A.5 B. C. D.
222题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分,共12分) 1
2a 0≤a<,??2=?1
2a-1 ≤a<1,??2
nnnn6.数列{an}满足an+1
6
若a1=,则a2 010的值为
7
________.
2
7.已知Sn是数列{an}的前n项和,且有Sn=n+1,则数列{an}的通项an=__________________.
8.(2011·安庆月考)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …
根据以上排列规律,数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是____________. 三、解答题(共38分)
9.(12分)写出下列各数列的一个通项公式.
1234
(1)1,2,3,4,…;
2345
31313
(2)-1,,-,,-,.
23456
10.(12分)由下列数列{an}递推公式求数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an-an-1=n (n≥2);
ann-1
(2)a1=1,= (n≥2);
an-1n(3)a1=1,an=2an-1+1 (n≥2).
2
11.(14分)(2009·安徽)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2n,数列{bn}的前n项和
10
Tn=2-bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
2
(2)设cn=an·bn,证明:当且仅当n≥3时,cn+1 答案 自主梳理 * 1.一定顺序排列 每一个数 定义域为N(或它的子集)a1,a2,a3,…,an,… n 2.第n项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < = 5.S1 Sn-Sn-1 自我检测 1.C 2.C 3.C 4.C 15. n课堂活动区 例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,要使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求; (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴涵着“从特殊到一般”的思想,得出的结论不一定可靠,在解答题中一般应用数学归纳法进行证明. 22×22×32×42×5 解 (1)原数列为2,2,2,2,2,…, 2-14-16-18-110-1 2n2n∴an==. 22 (2n)-14n-1 1491625 (2)原数列为,-,,-,,…, 22222n+12 (-1)·n∴an=. 2 1 变式迁移1 解 (1)∵a1=3=2+1, a2=5=22+1,a3=9=23+1,…, n∴an=2+1. (2)将数列中各项统一成分母为2的分数,得 1491625 ,,,,,…, 22222 观察知,各项的分子是对应项数的平方, ∴数列通项公式是an=. 2 (3)将数列各项统一成f(n)的形式得 2,5,8,11,…; 观察知,数列各项的被开方数逐个增加3,且被开方数加1后,又变为3,6,9,12,…,所以数列的通项公式是an=3n-1. (4)从奇数项,偶数项角度入手,可以得到分段形式的解析式,也可看作数列1,1,1,1,…和1,-1,1,-1,…对应项相加之和的一半组成的数列,也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示. ??1,n=1,3,5,…, 所以an=? ??0,n=2,4,6,…, n+1 n2 1+(-1)* 或an= (n∈N), 2nπ??2nπ* 或an=?sin ?或an=sin (n∈N), 2?2? 11 2 例2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式,一般有以下三种方法: (1)累加法:如果已知数列{an}的相邻两项an+1与an的差的一个关系式,我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式,然后把这n-1个式子相加,整理求出数列的通项公式. (2)累积法:如果已知数列{an}的相邻两项an+1与an的商的一个关系式,我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式,然后把这n-1个式子相乘,整理求出数列的通项公式. (3)构造法:根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式,进行变形整理,构造出一个新的等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式求解. 解 (1)当n=1,2,3,…,n-1时,可得n-1个等式,an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,…,a2-a1=1, 将其相加, 得an-a1=1+2+3+…+(n-1). (1+n-1)(n-1)n(n-1) ∴an=a1+=2+. 22 (2)方法一 an=或an=?cos ? ? n-1? π ? (n∈N). ? * anan-1a3a2 ··…···a1 an-1an-2a2a1 ?1?n-1?1?n-2?1?2?1?1 =??·??·…·??·?? ?2??2??2??2??1?1+2+…+(n-1)=?1?n(n-1), =???2?2?2??? ?1?n(n-1). ∴an=???2?2 n-1 方法二 由2an=an-1, ?1?n-1 得an=??an-1. ?2??1?n-1 ∴an=??an-1 ?2? ?1?n-1?1?n-2 =??·??an-2 ?2??2??1?n-1?1?n-2?1?1 =??·??·…·??a1 ?2??2??2? ?1?(n-1)+(n-2)+…+2+1=?1?n(n-1) =???2?2?2??? 变式迁移2 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1∴=3, an+1 ∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3, 又a1+1=2, n-1n-1 ∴an+1=2·3,∴an=2·3-1. (2)∵an+1=(n+1)an,∴∴ an+1 =n+1. ananan-1 =n,=n-1, an-1an-2 …… a3 =3, a2 12
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