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高三数学大一轮复习 数列的概念与简单表示法学案 理 新人教A版

来源:用户分享 时间:2025/7/15 12:08:29 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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1.数列的递推公式是研究的项与项之间的关系,而通项公式则是研究的项an与项数n的关系.

2.求数列的通项公式是本节的重点,主要掌握三种方法:(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式,关键是善于观察;

(2)数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系,要注意验证能否统一到一个式子中;

(3)由递推公式求通项公式,常用方法有累加、累乘. 3.本节易错点是利用Sn求an时,忘记讨论n=1的情况.

(满分:75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

2

1.(2010·安徽)设数列{an}的前n项和Sn=n,则a8的值为 ( )

A.15 B.16 C.49 D.64

2n2.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是

3n+1

( )

A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于 ( )

9

A.4 B.2 C.1 D.-2

4.(2011·烟台模拟)数列{an}中,若an+1=( )

A.13

B.1 13

C.11

an,a1=1,则a6等于 2an+1

D.1 11

1*

5.数列{an}满足an+an+1= (n∈N),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为

2

( )

7913

A.5 B. C. D.

222题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分,共12分) 1

2a 0≤a<,??2=?1

2a-1 ≤a<1,??2

nnnn6.数列{an}满足an+1

6

若a1=,则a2 010的值为

7

________.

2

7.已知Sn是数列{an}的前n项和,且有Sn=n+1,则数列{an}的通项an=__________________.

8.(2011·安庆月考)将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …

根据以上排列规律,数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是____________. 三、解答题(共38分)

9.(12分)写出下列各数列的一个通项公式.

1234

(1)1,2,3,4,…;

2345

31313

(2)-1,,-,,-,.

23456

10.(12分)由下列数列{an}递推公式求数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an-an-1=n (n≥2);

ann-1

(2)a1=1,= (n≥2);

an-1n(3)a1=1,an=2an-1+1 (n≥2).

2

11.(14分)(2009·安徽)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2n,数列{bn}的前n项和

10

Tn=2-bn.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

2

(2)设cn=an·bn,证明:当且仅当n≥3时,cn+1

答案 自主梳理

*

1.一定顺序排列 每一个数 定义域为N(或它的子集)a1,a2,a3,…,an,… n 2.第n项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < = 5.S1 Sn-Sn-1

自我检测

1.C 2.C 3.C 4.C 15.

n课堂活动区

例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,要使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求;

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴涵着“从特殊到一般”的思想,得出的结论不一定可靠,在解答题中一般应用数学归纳法进行证明.

22×22×32×42×5

解 (1)原数列为2,2,2,2,2,…,

2-14-16-18-110-1

2n2n∴an==. 22

(2n)-14n-1

1491625

(2)原数列为,-,,-,,…,

22222n+12

(-1)·n∴an=. 2

1

变式迁移1 解 (1)∵a1=3=2+1, a2=5=22+1,a3=9=23+1,…,

n∴an=2+1.

(2)将数列中各项统一成分母为2的分数,得 1491625

,,,,,…, 22222

观察知,各项的分子是对应项数的平方,

∴数列通项公式是an=.

2

(3)将数列各项统一成f(n)的形式得 2,5,8,11,…;

观察知,数列各项的被开方数逐个增加3,且被开方数加1后,又变为3,6,9,12,…,所以数列的通项公式是an=3n-1.

(4)从奇数项,偶数项角度入手,可以得到分段形式的解析式,也可看作数列1,1,1,1,…和1,-1,1,-1,…对应项相加之和的一半组成的数列,也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示.

??1,n=1,3,5,…,

所以an=?

??0,n=2,4,6,…,

n+1

n2

1+(-1)*

或an= (n∈N),

2nπ??2nπ*

或an=?sin ?或an=sin (n∈N),

2?2?

11

2

例2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式,一般有以下三种方法: (1)累加法:如果已知数列{an}的相邻两项an+1与an的差的一个关系式,我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式,然后把这n-1个式子相加,整理求出数列的通项公式.

(2)累积法:如果已知数列{an}的相邻两项an+1与an的商的一个关系式,我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式,然后把这n-1个式子相乘,整理求出数列的通项公式.

(3)构造法:根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式,进行变形整理,构造出一个新的等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式求解.

解 (1)当n=1,2,3,…,n-1时,可得n-1个等式,an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,…,a2-a1=1,

将其相加,

得an-a1=1+2+3+…+(n-1).

(1+n-1)(n-1)n(n-1)

∴an=a1+=2+.

22

(2)方法一 an=或an=?cos

?

?

n-1?

π

? (n∈N). ?

*

anan-1a3a2

··…···a1 an-1an-2a2a1

?1?n-1?1?n-2?1?2?1?1

=??·??·…·??·?? ?2??2??2??2??1?1+2+…+(n-1)=?1?n(n-1), =???2?2?2???

?1?n(n-1). ∴an=???2?2

n-1

方法二 由2an=an-1,

?1?n-1

得an=??an-1.

?2??1?n-1

∴an=??an-1

?2?

?1?n-1?1?n-2

=??·??an-2 ?2??2??1?n-1?1?n-2?1?1

=??·??·…·??a1 ?2??2??2?

?1?(n-1)+(n-2)+…+2+1=?1?n(n-1) =???2?2?2???

变式迁移2 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1∴=3, an+1

∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3, 又a1+1=2,

n-1n-1

∴an+1=2·3,∴an=2·3-1.

(2)∵an+1=(n+1)an,∴∴

an+1

=n+1. ananan-1

=n,=n-1, an-1an-2

……

a3

=3, a2

12

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