19．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD． （Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．
【解答】（本题满分15分）
证明：（Ⅰ）由题意知AM⊥BD，又因为 AC′⊥BD， 所以 BD⊥平面AMC， 因为BD?平面ABD，
所以平面AMC⊥平面ABD．…………（7分）
解：（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD． 由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角． 设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝DC＝DC′＝3
﹣2，AD＝2
，MD＝2﹣．
2
，
﹣
2在Rt△C′MD中，MC'＝C′D﹣MD＝（3
22
﹣2）﹣（2﹣
2
2
2
）＝9﹣4
2
．
设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′﹣AF＝MC′﹣MF， 即 4﹣x＝（9﹣4解得，x＝2所以 C′F＝2
2
）﹣（x﹣1），
﹣2．
2
﹣2，即AF＝2
．
故直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值等于＝．…………（15分）
20．（15分）已知函数f（x）＝
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（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）； （Ⅱ）证明：f（x）＜【解答】（本题满分15分） 解：（I）∵函数f（x）＝
（e为自然对数的底数）．
∴
证明：（Ⅱ）令f′（x）＝设g（x）＝
﹣lnx＝
＝
＝0．得
﹣lnx，
． …………（6分）
，
则函数g（x）在（0，+∞）单调递减，且g（所以存在
，使g（x0）＝0，即
）＞0，g（e）＜0， ，
所以 x0+1﹣（2x0+1）lnx0＝0，
所以 f′（x）＝0，且f （x）在区间（0，x0）单调递增，区间（x0，+∞）单调递减． 所以 f （x）≤f （x0）＝
＝
2
＜． …………（15分）
21．（15分）如图，过抛物线M：y＝x上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D．
（Ⅰ）设A（x0，x0）（x0≠0），求直线AB的方程； （Ⅱ）当G在抛物线上时，求
的值．
2
【解答】解：（Ⅰ）由y＝x可得 y′＝2x，直线AB的斜率k＝y′所以直线AB的方程y﹣x0＝2x0（x﹣x0），
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22
＝2x0．
即 y＝2x0x﹣x0．
（Ⅱ）由题意得，点B的纵坐标yB＝﹣x0，所以AB中点坐标为（设C（x1，y1），G（x2，y2），直线CG的方程为x＝my+x0．
2
2
，0）．
联立方程组
，得my+（mx0﹣1）y+x0＝0．
222
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2． 由韦达定理，得y1+y2＝4y2＝
，y1y2＝3y2＝
2
．
∴＝， ．
＝
， 解得 mx0＝﹣3±2
所以点D的纵坐标yD＝﹣
故＝||＝4±6．
（c＞0，n∈N*），
22．（15分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+（Ⅰ）证明：an+1＞an≥1； （Ⅱ）若对任意n∈N*，都有an
证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，an（ⅱ）an
．
（n﹣m）+am
【解答】（本题满分15分）
证明：（Ⅰ）因为c＞0，所以 an+1＝an+下面用数学归纳法证明an≥1． ①当n＝1时，a1＝1≥1； ②假设当n＝k时，ak≥1， 则当n＝k+1时，ak+1＝ak+所以，当n∈N*时，an≥1．
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＞an（n∈N*），
＞ak≥1．
所以 an+1＞an≥1．…………（5分） （Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，an≥am， 所以 an+1＝an+所以 an+1﹣an≤
≤an+
，
（n﹣m），
（n﹣m）+am．…………（9分）
，累加得 an﹣am≤
所以对于任意m∈N*，当n≥m时，an（ⅱ）若am＞（c﹣）?
，当m＞
﹣1＝
时， ，所以
＜c﹣．
所以当n≥m时，（c﹣）n﹣1≤an≤（n﹣m）+am．
所以当n＞时，（c﹣）n﹣1＞
（n﹣m）+am，矛盾．
所以c．
因为 ＝≤，
所以an
．…………（15分）
中考数学应试技巧和注意事项、认真审题，不慌不忙，先易后难，不能忽略题目中的任何一个条件．做题顺序：一般按照试题顺序做，实在做不出来，可先放一放，先做别的题目不要在一道题上花费太多的时间而影响其他题目；做题慢的同学要掌握好时间力争一次的成功率；做题速度快的同学要注意做题的质量，要细心，不要马虎．、考虑各种简便方法解题．选择题、填空题更是如此．选择题注意选择题要看完所有选项，做选择题可运用各种解题的方法，常见的方法如直接法，特殊值法，排除法，验证法，图解法，假设法（即反证法），动手操作法（比如折一折，量一量等方法）．采用淘汰法和代入检验法可节省时间．有些判断几个命题正确个数的题目，一定要慎重，你认为错误的最好能找出反例，常见的方法如直接法，特殊值法，排除法，验证法，图解法，假设法（即反证法），动手操作法（比如折一折，量一量等方法）．采用淘汰法和代入检验法可节省时间．填空题．注意一题多解的情况．．注意题目的隐含条件，比如二次项系数不为0,实际问题中的整数等；．要注意是否带单位，表达格式一定是最终化简结果；4.求角、线段的长，实在不会时，可以尝试猜测或度量法．解答题（）注意规范答题，过程和结论都要书写规范．（）计算题一定要细心，最后答案要最简，要保证绝对正确．（）先化简后求值问题，要先化到最简，代入求值时要注意：分母不为零；适当考虑技巧，如整体代入．（）解分式方程一定要检验，应用题中也是如此．（）解直角三角形问题，注意交代辅助线的作法，解题步骤．关注直角、特殊角．取近似值时一定要按照题目要求．第16页（共18页）
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