第二十章 圆 高频考点 1.垂径定理 2.圆心角、弧、弦之间的关系 3.圆周角定理 4.圆内接四边形 5.三角形的外接圆与内切圆 6.切线的判定及性质 7.切线长及切线长定理 8.正多边形的有关计算 9.弧长及扇形面积公式 10.圆锥的侧面积及全面积 知能图谱考查频率 ★★★ ★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★ ★ ★★★ ★★ 所占分值 考情分析 12~20分 ??圆的有关概念???轴对称性,垂径定理??????圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系???有关概念及性质????圆的有关性质??圆心角定理?旋转不变性??????圆周角定理????圆内接四边形????????点和圆的位置关系???点和圆的位置关系?过不在同直线上的三点作圆??三角形的外接圆??????????????相离??直线和圆的位置关系??相交???切线的性质???????切线的判定圆??相切????切线长及切线长定理???三角形的内切圆?????正多边形的定义????正多边形和圆正多边形和圆???正多边形的判定及性质??正多边形的有关计算??????正多边形及有关计算?????半径为R的圆中,n?的圆心角???????圆的周长C?2πR??n?????所对的弧长为l=180πR?1????S?lR??扇形?圆中的有关计算?2?半径为R的圆中,圆心角为n?????2??实际应用??圆的面积S?πR?n2????的扇形面积为S扇形?360πR?????????圆锥的侧面积S?πrl??侧???圆锥的全面积S全?S侧?S底??2??圆锥的底面积S?πr? 底?????第47讲 圆的有关概念及性质
知识能力解读
知能解读(一)圆的概念 1 概念 (1)在描述性定义:如图所示,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。其固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。
rOA
(2)集合性定义:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
2 圆的表示方法
以点O为圆心的圆,记作?O,读作“圆O”。 3 圆的特征
(1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 点拨
(1)圆指的是“圆周”,即一条封闭的曲残,而不是“圆面”。 (2)“圆上的点”指的是圆周上的点,圆心不在圆周上。 (3)确定一个圆需要两个要素:一是定点,即圆心;二是定长,即半径。圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了,圆才能被唯一确定。记忆口诀:圆有两要素,半径和圆心;半径定大小,圆心定位置。 知能解读(二)圆的有关概念 名称 概念 注意 图示 连接圆上任意两点的 线段叫作直径是圆中最长的弦不弦 一定是直径 弦,如右图 中“弦AC” 经过圆心的弦叫作直径,如右图中直径 但弦不一定是直径 “直径AB” 圆上任意两点间的部 分叫作圆弧,简称弧。 圆的任意一条直径C每弧、半的 两个端点把圆分成两 条弧,B圆、劣一条弧都叫 作半圆;大于半圆的 半圆是弧,但弧不一定是O孤、优弧叫作优弧,用三个字母表示,如半圆 弧 右图中 的?小于半圆的弧叫ABC;作劣弧,用两个字母表示,如右图A 中?AC 能够重合的两个圆叫作等圆,容易等圆只和半径的大小有等圆 看出:半径相等的两个圆是等圆; 关,和圆心有位置有关 反过来,等圆的半径相等 在同圆或等圆中,能够互相重合的长度相等的孤不一定是等弧 弧叫作等孤 等孤 知能解读(三)圆的对称性 圆既是中心对称图形,又是轴对称图形和旋转对称图形。
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合,因此它是中心对称图形,它的对称中心是圆心。将圆周周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合,这说明圆是旋转对称图形。
经过圆心画任意一条直线,并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合,所以圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴。
知能解读(四)垂直定理及其推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,CD是?O的直径,AB是?O的弦,CD交AB于点E,若CD?AB,则
?,??. AE?BE,?AD?BDAC?BCCOAEDB
注意
(1)垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本 质是“过圆心”。 (2)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立。
(2)垂径
定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。如图1-47-2,
?, AB是非直径的弦,CD是直径,若AE?BE,则CD?AB,?AD?BD??。 AC?BC注意
垂径定理的推论中,被平分的弦不能是直径,如果弦是直径,两直径互相平分,结论就不成立,如图所示,直径CD平分直径AB,但AB不垂直于CD。
AOBCD
(1)垂直定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据。
(2)一条直线如果具有:①经过圆心,②垂直于弦,③平分弦(被平分的弦不是直径),④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧,这五条中的任意两条,那么必然具备其余三条。 知能解读(五)圆心角的定义及与弧、弦之间的关系 1 圆心角的定义
顶点在圆心的角叫作圆心角。 2.弧、弦、圆心角之间的关系
(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。如图所示,
?,AB=CD。 在⊙O中,若?AOB=?COD,则有?AB=CDDCOBA
(2)推论1:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦
相等。
(3)推论2:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等。
以上三个关系可总结为:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。 注意
圆心角的度数等于它所对弧的度数,不能说圆心角等于它所对的弧。 知能解读(六)圆周角的定义及性质 1.圆周角的概念
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。 圆周角具备两个特征: (1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内部的线段都是圆的弦。 2.圆周角定理及推论
(1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。
(3)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径。 点拨
(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类,它们一般不相等。 (2)推论2给出了圆中一种常见的作辅助线的方法:若有直径,通常作直径所对的圆周角;反过来,若有90?的圆周角,通常作直径。 知能解读(七)圆内接多边形
(1)圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作圆内接多边形,这个圆叫作这个多边形的外接圆。
(2)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。 拓展:对角互补的四边形,其四个顶点在同一个圆上。
方法技巧归纳
方法技巧(一)运用垂径定理进行解题的方法 在应用垂径定理与推论进行计算时,往往要构造如图所示的直角三角形,根据垂径定理与勾
?a?股定理有:r=d+??。根据此公式,在a,r,d三个量中,知道任意两个量就可以
?2?222求出第三个量。
COraA2CdBADBO
方法技巧(二)利用弧、弦、圆心角之间的关系解题
在同圆或等圆中,两个圆心角及其所对的两条弧、两条弦中只要有一组量相等,对应的另外两组量也分别相等。 点拨
在圆中证明弧相等时往往要证明弧所对的圆心角或弦相等,在证明圆心角或弦相等时常由相应的半径、弦的一半、圆心与弦中点的连线段构造直角三角形,通过证明三角形全等来解决。 方法技巧(三)利用圆周角的性质进行解题的方法 在求圆周角或圆心角的度数时,通常要找出或构造出同弧(或等弧)所对的圆周角或圆心角。若题目中有直径,常常添加辅助线,构造直径所对的圆周角,利用垂径定理或直角三角形求解。
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