中考命题规律
本讲的内容是中考的必考内容，主要考查直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆及切线长定理等内容，题型有选择题、填空题和证明题、多为中、低档题。 中考试题（一）与切线有关的求解问题
中考试题（二）与切线有关的推理论证问题 中考试题（三）创新问题的求解 点拨
本题是阅读理解题，解答阅读理解题的关键是读懂题意，根据题中提供的方法与信息进行解题。
第49讲 与圆有关的计算
知能解答（一）正多边形及有关概念
（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆n等分（n?3），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心（如图1-49-1所示）。
（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径（如图所示）。
中心角半径RαO边心距中心r
（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角（1-49-1所示）。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图1-49-1所示）。
知能解读（二）正多边形的有关计算 （1）正n边形的每个内角都等于
nn360?
. （2）正n边形的每个中心角都等于n
（3）正n边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正n边形的半径为R,一边AB?a，边心距OM?r，则有
?n?2??180??180??360?.
180?2?a??BOM?,R?r2???,正n边形的周长l?na,面积S?nS?AOB?2nS?BOM
n?2?1?lr. 2点拨
（1）由正n边形的内角与外角互补，正n边形的中心角等于外角，可得正n边形的内角与中心角互补。
（2）正六边形的边长等于其外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍，正方形的边长等于其外接圆半径的2倍。
2OMAB
知能解读（三）弧长的计算
n?R. 180（2）公式推导：在半径为R的圆中，因为360?的圆心角所对的弧长就是圆周长C?2?R，
2?R?Rn?R,于是n?的圆心角所对的弧长为l?. ,即所以1?的圆心角所对的弧长是
180?180360?（1）弧长公式：l?注意
（1）在弧长公式中，n表示1?的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径R?6cm，计算
20?的圆心角所对弧长l时，不要错写成l?20??6???cm?.
180（2）在弧长公式中，已知，l,n,R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知能解读（四）扇形面积的计算
（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：S扇形（3）公式推导：
①在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S??R，所以圆心角是1?的扇形面积是②S扇形点拨
2n?R21?=lR,R为扇形所在圆的半径，l为扇形的弧长。 3602,于是圆心角为n?的扇形面积是S扇形3601n?R2n?R11?=?R?lR,即S扇形?lR,其中l为扇形的弧长，R为半径。
236018022?R2n?R2?. 3601lR与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角2形，把弧长l看成底，半径R看成高即可。
1n?R2（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式S扇形?还是S扇形lR.
2360（3）已知S扇形,l,R,n四个量中任意两个，都可以求出另外两个。
（4）公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义是一样的，表示“1?”的圆心角的倍数，
（1）扇形面积公式S?参与计算时不带单位。
知能獬读（五）圆锥的侧面积与全面积
（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。
圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线l、高h、底面半径r恰好构成一个直角三角形，满足r?h?l。已知任意两个量，可以求出第三个量。
222Slh底面rO
（2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，其计
1l?2?r??rl;圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算22公式为S全?S侧+S底=?rl+?r??r?l?r?。
算公式为S扇形?方法技巧归纳
方法技巧（一）正多边形的有关计算的技巧
在解决正多边形的有关计算时，通过作正n边形的半径和连接圆心与边的中点的线段，把正n边形分成2n个直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。 方法技巧（二）利用弧长公式进行计算的方法 在弧长公式l?n?R中，已知l,n,R中的任意两个量，就可以求出第三个量。 180方法技巧（三）利用扇形面积公式进行计算的方法
已知扇形面积S，弧长l,圆心角n?，半径R中的任意两个量，可求出另外的两个量。在利用扇形面积公式时，要根据条件灵活选用合适的公式计算。 方法技巧（四）圆锥的侧面积、全面积的求法
圆锥的侧面展开图是一个扇形，因而其面积是一个扇形的面积，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是底面圆的周长。在解决有关圆锥的计算时，关键是理清立体图形与平面展开图的联系与区别，特别是不要混淆底面圆的半径和展开图扇形的半径。 点拨
此题中扇形的面积就是圆锥的侧面积。
方法技巧（五）求圆锥侧面上两点之间的最短距离
在圆锥侧面上求最短距离，先把圆锥侧面展开为平面，利用“两点之间线段最短”求解。 点拨
圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，利用勾股定理解决问题。
易混易错辨析
易混易错知识
1.对弧长或扇形面积公式中的n理解错误。
n?Rn?R22.混淆弧长公式l?与扇形面积公式S?。
1803603.混淆圆锥的底面半径和扇形的半径。
圆锥的底面半径是扇形是以扇形的弧长为周长的圆的半径，而扇形的半径是扇形围成的圆锥的母线。
易混易错（一）对弧长或扇形面积公式中的n理解错误
易混易错（二）不能正确区分圆锥的侧面展开图的扇形半径和圆锥底面半径，导致错误
中考试题研究
中考命题规律
利用圆的周长、弧长、圆的面积、扇形的面积计算公式解决相关的几何计算和简单几何组合图形的计算是中考的必考内容之一，常以填空题、选择题及解答题的形式出现，难度适中。
计算圆锥的侧面积、表面积这一部分知识，常与实际生活相联系，是中考的热点之一，既考查学生掌握知识的情况，又考查学生运用知识解决实际问题的能力。 中考试题（一）直接运用公式求解 中考试题（二）求阴影部分的面积 中考试题（三）圆的综合运用
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