7.2 一元二次不等式及其解法
考纲要求
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 4．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
5．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.
1．一元二次不等式的解法
一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为 (1)当a＞0时，解集为__________． (2)当a＜0时，解集为__________．
2．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表： 2判别式Δ＝b－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
有两相等实根 一元二次方程 有两相异实根 2bax＋bx＋c＝0 没有实数根 x1，x2(x1＜x2) x1＝x2＝－ 2a(a＞0)的根 2ax＋bx＋c＞0 __________ __________ __________ (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 __________ _________ __________ (a＞0)的解集 23．用程序框图来描述一元二次不等式ax＋bx＋c＞0(a＞0)的求解的算法过程为： 1
2
4．上述不等式ax＋bx＋c＞0(＜0)中的a均大于0.若a＜0，则可先进行转化，使x的系数为正，但一定要注意在转化过程中不等号的变化．
5．绝对值不等式
(1)含____________的不等式叫做绝对值不等式．
(2)解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：
2
??fx①分段讨论：根据|f(x)|＝?
?－f?
，fx≥0，
x，fx<0
去掉绝对值符号．
②利用等价不等式：
|ax＋b|≤c(c＞0)?________； |ax＋b|≥c(c＞0)?__________.
③两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝．．．对值符号．
(3)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立． (4)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当__________时，等号成立．
(5)|x－a|的几何意义：数轴上表示数x与a的两点间的______．
(6)形如|x－a|＋|x－b|≥c(a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：
①运用绝对值的几何意义； ②零点分区间讨论法；
③构造分段函数，结合函数图象求解．
(7)重要绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤________. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即 |a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0； |a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0；
|a|－|b|＝|a＋b|?b(a＋b)≤0； |a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0；
注：|a|－|b|＝|a＋b|?|a|＝|a＋b|＋|b|?|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|?b(a＋b)≤0.
2
同理可得|a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0.
1．不等式x＞x的解集是( )．
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
x－1
2．(2012重庆高考)不等式＜0的解集为( )．
x＋2
A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
22
3．若a＜0，则关于x的不等式x－4ax－5a＞0的解是( )． A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5a C．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a
12
4．若关于x的不等式－x＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是__________．
2
2
5．(2012天津高考)集合A＝{x∈R||x－2|≤5} 中的最小整数为__________．
6．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a的值为__________．
一、一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式：
2
(1)2x＋4x＋3＞0；
2
(2)－3x－2x＋8≥0；
22
(3)12x－ax＞a(a∈R)． 方法提炼
1．解一元二次不等式的一般步骤：
22
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax＋bx＋c＞0(a＞0)，ax＋bx＋c＜0(a＞0)；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：
(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；
(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；
(4)判断二次不等式两根的大小．
特别强调：当a＝0时，ax＞b不是一元一次不等式；当a＝0，b≥0时，它的解集为?；当a＝0，b＜0时，它的解集为R.
请做演练巩固提升2 二、分式不等式的解法
x2－9
【例2】 (2012江西高考)不等式＞0的解集是__________．
x－2
方法提炼
对于形如
可等价转化为?
fxfx＞0(＜0)可等价转化为f(x)g(x)＞0(＜0)来解决；对于≥0(≤0)gxgx?fx·gx≥0≤0，?
??gx≠0.
当然对于高次不等式可用“穿根法”解决．
请做演练巩固提升1
3
三、一元二次不等式的实际应用
【例3】 某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．
(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ (2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ 方法提炼
解不等式应用题的步骤
请做演练巩固提升5
四、含有绝对值的不等式的解法
【例4－1】(2012辽宁高考)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若?f??
?x??x－2f???≤k恒成立，求k的取值范围． 2
???
【例4－2】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 方法提炼
1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图象法求解．
2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值．
请做演练巩固提升3
与一元二次不等式有关的恒成立问题
2
【典例】 (12分)设函数f(x)＝mx－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
分析：(1)对于x∈R，f(x)＜0恒成立，可转化为函数f(x)的图象总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解．
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内的恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．一般方法二比较简单．
2
规范解答：(1)要使mx－mx－1＜0恒成立， 若m＝0，显然－1＜0；
??m<0，
若m≠0，则??－4＜m＜0. 2
?Δ＝m＋4m<0?
4
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