综上有－4＜m≤0.(4分)
(2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即 ?1?3
m?x－?2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．(6分) ?2?4
有以下两种方法：
?1?23
方法一：令g(x)＝m?x－?＋m－6，x∈[1,3]．
?2?4
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，(8分) 所以g(x)max＝g(3)?7m－6＜0，
66
所以m＜，则0＜m＜；(10分)
77
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)?m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0.
????6?
?.(12分) 综上所述：m的取值范围是?m?m<7?????
?1?232
方法二：因为x－x＋1＝?x－?＋＞0，
?2?4
62
又因为m(x－x＋1)－6＜0，所以m＜2.(8分)
x－x＋1
6666
因为函数y＝2＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．(10
x－x＋1?1?2377
?x－2?＋4??
分)
???6
所以，m的取值范围是?m?m<
???7
??
?.(12分) ??
答题指导：1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过
分离参数，再求最值．
2．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
4．本题考生易错点：忽略对m＝0的讨论．这是由思维定势所造成的．
x－2
≤0的解集为( )． x＋1
A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1＜x≤2} C．{x|－1≤x＜2} D．{x|－1＜x＜2}
2
2．已知不等式x－x≤0的解集为M，且集合N＝{x|－1＜x＜1}，则M∩N为( )．
1．不等式
A．[0,1) B．(0,1) C．[0,1] D．(－1,0]
3．(2012陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是______________．
2
4．当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是__________． 5．某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍．
(1)用x和y表示z；
(2)设x与y满足y＝kx(0＜k＜1)，利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；
5
2
(3)若y＝x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围．
3
6．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2；
(2)若关于x的不等式a＞f(x)有解，求实数a的取值范围．
6
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
???b1．(1)?x?x>
??a?
?
?????b? (2)?x?x
??
? ??
2．{x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} {x|x1＜x＜x2} ? ?
3．Δ≥0？ ?－∞，－?∪?－，＋∞? (－∞，x2)∪(x1，＋∞) (－∞，＋∞)
2a??2a??
5．(1)绝对值符号
(2)②－c≤ax＋b≤c ax＋b≤－c或ax＋b≥c (3)ab≥0
(4)(a－b)(b－c)≥0 (5)距离 (7)|a|＋|b| 基础自测
2
1．D 解析：x＞x?x(x－1)＞0?x＞1或x＜0.
x－1
2．C 解析：不等式＜0，解不等式得其解集为(－2,1)，故选C.
x＋222
3．B 解析：由x－4ax－5a＞0，得(x－5a)(x＋a)＞0， ∵a＜0，∴x＜5a或x＞－a.
122
4．1 解析：由－x＋2x＞mx，得x－4x＋2mx＜0，即x[x－(4－2m)]＜0，
2
∵不等式的解集为{x|0＜x＜2}， ∴4－2m＝2.∴m＝1.
5．－3 解析：∵|x－2|≤5， ∴－5≤x－2≤5， ∴－3≤x≤7，
∴集合A中的最小整数为－3.
6．2 解析：由题意，知f(－2)＝f(3)＝5，即1＋|2＋a|＝4＋|3－a|＝5，解得a＝2.
考点探究突破
2
【例1】 解：(1)∵Δ＝4－4×2×3＜0，
2
∴方程2x＋4x＋3＝0没有实根．
22
二次函数y＝2x＋4x＋3的图象开口向上，与x轴没有交点，即2x＋4x＋3＞0恒成立，
2
∴不等式2x＋4x＋3＞0的解集为R.
2
(2)原不等式可化为3x＋2x－8≤0， ∵Δ＝100＞0，
42
∴方程3x＋2x－8＝0的两根为－2，.
3
???4
结合二次函数y＝3x＋2x－8的图象可知，原不等式的解集为?x?－2≤x≤
3???
2
b??
b?
??
?. ??
(3)由12x－ax－a＞0
?(4x＋a)(3x－a)＞0
22
a??a??x＋??4??x－3?＞0， ????
①a＞0时，－＜，
43
???aa解集为?x?x<－或x>43???
aa ??
?； ??
7
②a＝0时，x＞0，
解集为{x|x∈R且x≠0}； ③a＜0时，－＞，
43
???aa解集为?x?x<或x>－
4???3
2
aa
??
?. ??
x2－9
【例2】 (－3,2)∪(3，＋∞) 解析：不等式＞0可化为(x－2)(x－3)(x＋3)
x－2
＞0，
由穿根法(如图)得，
所求不等式的解集为(－3,2)∪(3，＋∞)．
【例3】 解：(1)设生产第x档次产品时，所获利润最大，则生产第x档次产品时，每件利润为[16＋(x－1)×1]元，
生产第x档次产品时，每天生产[40－2(x－1)]件， 所以生产第x档次产品时，每天所获利润为： y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)]
2
＝－2(x－3)＋648.
当x＝3时，y最大，即生产第三档次产品利润最大． (2)若最低档次产品每件利润为22元， 则生产第x档次产品时，每天所获利润为： y＝[40－2(x－1)][22＋(x－1)]
2
＝－2x＋882.
因为x∈[1,6]，且x∈N，
所以当x＝1时，y最大，即生产第一档次产品利润最大． 【例4－1】 解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}， 所以当a≤0时，不合题意．
42
当a＞0时，－≤x≤，得a＝2.
aa(2)记h(x)＝f(x)－2f??，
?2?
?x?
?1?－4x－3，－1 2则h(x)＝? 1 －1，x≥－，??2 1，x≤－1， 所以|h(x)|≤1，因此k≥1. 【例4－2】 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|， 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3， ?33? (方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为?x|x≤－或x≥?. 22?? ??x≤－1， (方法二)不等式可化为? ??－2x≥3 ??－1 或???2≥3 ??x>1， 或???2x≥3. 所以不等式的解集为 8
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