课时跟踪检测(十) 事件的相互独立性
一、选择题
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A 与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
解析：选A 由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.
2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
1323
A. B. C. D. 2534
解析：选D 设Ai(i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军．
1113法一：B＝A1＋A1A2，故P(B)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＝＋×＝.
2224113
法二：P(B)＝1－P(A1 A2)＝1－P(A1)P(A2)＝1－×＝.
224
1
3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发
9生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
2112A. B. C. D. 91833
－－－－解析：选D 由P(AB)＝P(BA)，得P(A)P(B)＝P(B)P(A)，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－－1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)，又P(A B)＝，
9
2－－1
则P(A)＝P(B)＝.∴P(A)＝.
33
4.荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
1
1248A. B. C. D. 39927
22解析：选A 青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径．第一条：按A→B→C→A，P1＝×
33281111
×＝；第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A叶上的概率为32733327
P＝P1＋P2＝＋＝. 1
5．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，
2则灯亮的概率是( )
81127273
1317A. B. C. D. 8848
解析：选B 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB
C∪A BC，且A，B，C相互独立，ABC，AB C，A BC互斥，所以P(E)＝P(ABC∪AB C∪A BC)
＝P(ABC)＋P(AB C)＋P(A BC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) 11111?1?1?1?13＝××＋××?1－?＋×?1－?×＝.
2?2822222?2?2?二、填空题
6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.
解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65，P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65 0.3
7．甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题为合格．则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为__________．
解析：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，事件A，B相互独立． C6C4＋C62C8C2＋C814
P(A)＝＝，P(B)＝＝. 33C103C1015
2
21
3
21
3
所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P(AB)＝P(A)(B)＝?1－??1－?＝，
315
－－－－
??
2??
??
14?
?
145
故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P(AB)＝1－＝. 44答案： 45
8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，
－－
1444545
P(A3)＝0.5，
且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1 A2A3∪A1A2A3
发生，
故所求概率为
P＝P(A1A2A3∪A1 A2A3∪A1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1 A2A3)＋P(A1A2A3) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋
P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
答案：0.46 三、解答题
9．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书．甲、乙、丙三人332957
在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，.
5431068所有考试是否合格相互之间没有影响．
问：甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？
解：记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，
3927355
则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
51050468
3
P(C)＝×＝，
有P(B)>P(C)>P(A)，
故乙获得合格证书的可能性最大．
10．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛1
三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，311
甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
43
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率． 解：(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A， 11?1?1
则P(A)＝××?1－?＝. 3?1834?
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B＋C，则P(B＋C)＝P(B)1?1?1?1?11511
＋P(C)＝×?1－?＋×?1－?＋×＝＋＝.
4?4?3?34121223?
11．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用
2738712
A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效
21
的概率为，服用B有效的概率为.
32
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．
解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi11
表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.据题意有：P(A0)＝×331＝， 9
P(A1)＝2××＝， P(A2)＝×＝， P(B0)＝×＝，
4
123324391124
49
2312
P(B1)＝2××＝. 1414144
所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
4949299
112212
?4?3604
(2)所求概率P′＝1－?1－?＝.
?9?729
5
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